Un número refactorable o tau es un número entero n que es divisible por la cuenta de sus divisores , o para decirlo algebraicamente, n es tal que. Los primeros números refactorizables se enumeran en (secuencia A033950 en la OEIS ) como
- 1 , 2 , 8 , 9 , 12 , 18 , 24 , 36 , 40 , 56 , 60 , 72 , 80 , 84 , 88 , 96 , 104 , 108 , 128 , 132 , 136 , 152 , 156 , 180 , 184 , 204 , 225 , 228 , 232 , 240 , 248 , 252 , 276 , 288 , 296 , ...
Por ejemplo, 18 tiene 6 divisores (1 y 18, 2 y 9, 3 y 6) y es divisible por 6. Hay infinitos números refactorables.
Propiedades
Cooper y Kennedy demostraron que los números refactorables tienen densidad natural cero. Zelinsky demostró que no se pueden refactorizar tres enteros consecutivos. [1] Colton demostró que ningún número refactorizable es perfecto . La ecuacion tiene soluciones solo si es un número refactorable, donde es la función máxima del divisor común .
Dejar ser el número de números refactorizables que son como máximo . El problema de determinar una asintótica paraEsta abierto. Spiro ha demostrado que[2]
Todavía hay problemas sin resolver con respecto a los números refactorables. Colton preguntó si hay arbitrariamente grandes tal que ambos y son refactorables. Zelinsky se preguntó si existe un número refactorizable, existe necesariamente tal que es refactorable y .
Historia
Definido por primera vez por Curtis Cooper y Robert E. Kennedy [3] donde demostraron que los números tau tienen densidad natural cero, fueron redescubiertos más tarde por Simon Colton utilizando un programa informático que él había creado, que inventa y juzga definiciones de una variedad de áreas de matemáticas como la teoría de números y la teoría de grafos . [4] Colton llamó a estos números "refactorables". Si bien los programas de computadora habían descubierto pruebas antes, este descubrimiento fue una de las primeras veces que un programa de computadora había descubierto una idea nueva o previamente desconocida. Colton demostró muchos resultados sobre números refactorables, mostrando que había infinitos y demostrando una variedad de restricciones de congruencia en su distribución. Colton solo fue alertado más tarde de que Kennedy y Cooper habían investigado previamente el tema.
Ver también
- Función divisor
Referencias
- ^ J. Zelinsky, " Números Tau: una prueba parcial de una conjetura y otros resultados ", Journal of Integer Sequences , vol. 5 (2002), artículo 02.2.8
- ^ Spiro, Claudia (1985). "¿Con qué frecuencia es el número de divisores de n divisor de n?" . Revista de teoría de números . 21 (1): 81–100. doi : 10.1016 / 0022-314X (85) 90012-5 .
- ^ Cooper, CN y Kennedy, RE "Números de Tau, densidad natural y teorema 437 de Hardy y Wright". Internat. J. Math. Matemáticas. Sci. 13, 383-386, 1990
- ^ S. Colton, " Números refactorables: una invención de la máquina ", Journal of Integer Sequences , vol. 2 (1999), artículo 99.1.2