En matemáticas, la torsión de Reidemeister (o torsión R , o torsión de Reidemeister-Franz ) es un invariante topológico de variedades introducido por Kurt Reidemeister ( Reidemeister 1935 ) para 3 variedades y generalizado a dimensiones superiores por Wolfgang Franz ( 1935 ) y Georges de Rham ( 1936 ). La torsión analítica (o torsión de Ray-Singer ) es una invariante de las variedades de Riemann definidas por Daniel B. Ray yIsadore M. Singer ( 1971 , 1973a , 1973b ) como análogo analítico de la torsión de Reidemeister. Jeff Cheeger ( 1977 , 1979 ) y Werner Müller ( 1978 ) demostraron la conjetura de Ray y Singer de que la torsión de Reidemeister y la torsión analítica son iguales para las variedades compactas de Riemann.
La torsión de Reidemeister fue el primer invariante en la topología algebraica que pudo distinguir entre variedades cerradas que son homotopía equivalentes pero no homeomórficas , y por lo tanto puede verse como el nacimiento de la topología geométrica como un campo distinto. Se puede utilizar para clasificar espacios de lentes .
La torsión de Reidemeister está estrechamente relacionada con la torsión de Whitehead ; ver ( Milnor 1966 ). También ha dado una motivación importante a la topología aritmética ; ver ( Mazur ). Para trabajos más recientes sobre torsión, véanse los libros ( Turaev 2002 ) y (Nicolaescu 2002 , 2003 ).
Definición de torsión analítica
Si M es una variedad de Riemann y E un fibrado vectorial de M , entonces hay un operador laplaciano que actúa sobre las i -formas con valores en E . Si los valores propios en las formas i son λ j, entonces la función zeta ζ i se define como
for s large, y esto se extiende a todos los complejos s mediante la continuación analítica . El determinante zeta regularizado de la acción laplaciana sobre las formas i es
que es formalmente el producto de los valores propios positivos del laplaciano que actúa sobre las formas i . La torsión analítica T ( M , E ) se define como
Definición de torsión de Reidemeister
Dejar ser un complejo CW conectado finito con grupo fundamental y funda universal , y deja ser un ortogonal de dimensión finita -representación. Suponer que
para todos n. Si fijamos una base celular para y una ortogonal -base para , luego es un contrato libre de base finita -complejo de cadenas. Dejarser cualquier contracción en cadena de D * , es decir para todos . Obtenemos un isomorfismo con , . Definimos la torsión de Reidemeister
donde A es la matriz de con respecto a las bases dadas. La torsión del Reidemeister es independiente de la elección de la base celular para , la base ortogonal para y la contracción de la cadena .
Dejar ser un colector liso compacto, y dejar ser una representación unimodular. tiene una triangulación suave. Para cualquier elección de volumen, obtenemos una invariante . Entonces llamamos al número real positivo la torsión Reidemeister del colector con respecto a y .
Una breve historia de la torsión de Reidemeister
La torsión de Reidemeister se utilizó por primera vez para clasificar combinatoriamente espacios de lentes tridimensionales en ( Reidemeister 1935 ) por Reidemeister, y en espacios de dimensiones superiores por Franz. La clasificación incluye ejemplos de variedades tridimensionales equivalentes de homotopía que no son homeomorfas ; en ese momento (1935) la clasificación era solo hasta el homeomorfismo PL , pero más tarde EJ Brody ( 1960 ) mostró que de hecho se trataba de una clasificación hasta el homeomorfismo .
JHC Whitehead definió la "torsión" de una equivalencia de homotopía entre complejos finitos. Ésta es una generalización directa del concepto de Reidemeister, Franz y de Rham; pero es una invariante más delicada. La torsión de cabeza blanca proporciona una herramienta clave para el estudio de variedades combinatorias o diferenciables con un grupo fundamental no trivial y está estrechamente relacionada con el concepto de "tipo de homotopía simple", ver ( Milnor 1966 )
En 1960, Milnor descubrió la relación de dualidad de los invariantes de torsión de las variedades y mostró que el polinomio de nudos de Alexander (retorcido) es la torsión de Reidemeister de su complemento de nudos en . ( Milnor 1962 ) Para cada q la dualidad de Poincaré induce
y luego obtenemos
La representación del grupo fundamental de complemento de nudos juega un papel central en ellos. Da la relación entre la teoría de nudos y los invariantes de torsión.
Teorema de Cheeger-Müller
Dejar ser un colector Riemann compacto orientable de dimensión ny una representación del grupo fundamental de en un espacio vectorial real de dimensión N. Entonces podemos definir el complejo de De Rham
y el adjunto formal y debido a la planitud de . Como de costumbre, también obtenemos el Hodge Laplacian en formas p
Asumiendo que , el Laplaciano es entonces un operador elíptico simétrico positivo semi-positivo con espectro de puntos puro
Como antes, por lo tanto, podemos definir una función zeta asociada con el Laplaciano en por
dónde es la proyección de en el espacio del kernel del laplaciano . Además ( Seeley 1967 ) demostró que se extiende a una función meromórfica de que es holomórfico en .
Como en el caso de una representación ortogonal, definimos la torsión analítica por
En 1971 DB Ray y IM Singer conjeturaron que para cualquier representación unitaria . Esta conjetura de Ray-Singer fue finalmente probada, independientemente, por Cheeger ( 1977 , 1979 ) y Müller (1978) . Ambos enfoques se centran en el logaritmo de las torsiones y sus trazas. Esto es más fácil para las variedades de dimensiones impares que en el caso de dimensiones pares, lo que implica dificultades técnicas adicionales. Este teorema de Cheeger-Müller (que las dos nociones de torsión son equivalentes), junto con el teorema de Atiyah-Patodi-Singer , más tarde proporcionaron la base para la teoría de la perturbación de Chern-Simons .
Más tarde, JM Bismut y Weiping Zhang dieron una demostración del teorema de Cheeger-Müller para representaciones arbitrarias. Su prueba utiliza la deformación de Witten .
Referencias
- Bismut, J. -M .; Zhang, W. (1994-03-01), "Métricas de Milnor y ray-singer sobre el determinante equivariante de un conjunto de vectores planos", Análisis geométrico y funcional GAFA , 4 (2): 136–212, doi : 10.1007 / BF01895837 , ISSN 1420-8970
- Brody, EJ (1960), "La clasificación topológica de los espacios de lentes", Annals of Mathematics , 2, 71 (1): 163–184, doi : 10.2307 / 1969884 , JSTOR 1969884 , MR 0116336
- Cheeger, Jeff (1977), "Analytic Torsion and Reidemeister Torsion" , Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 74 (7): 2651-2654, Bibcode : 1977PNAS ... 74.2651C , doi : 10.1073 /pnas.74.7.2651 , MR 0.451.312 , PMC 431 228 , PMID 16592411
- Cheeger, Jeff (1979), " Torsión analítica y ecuación de calor", Annals of Mathematics , 2, 109 (2): 259–322, doi : 10.2307 / 1971113 , JSTOR 1971113 , MR 0528965
- Franz, Wolfgang (1935), "Ueber die Torsion einer Ueberdeckung", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 173 : 245-254
- Milnor, John (1962), "Un teorema de dualidad para la torsión de Reidemeister", Annals of Mathematics , 76 (1): 137-138, doi : 10.2307 / 1970268 , JSTOR 1970268
- Milnor, John (1966), "Whitehead torsion", Bulletin of the American Mathematical Society , 72 (3): 358–426, doi : 10.1090 / S0002-9904-1966-11484-2 , MR 0196736
- Mishchenko, Aleksandr S. (2001) [1994], "Reidemeister torsion" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Müller, Werner (1978), "Torsión analítica y R-torsión de variedades de Riemann", Advances in Mathematics , 28 (3): 233-305, doi : 10.1016 / 0001-8708 (78) 90116-0 , MR 0498252
- Nicolaescu, Liviu I. (2002), Notas sobre la torsión de Reidemeister (PDF) Libro en línea
- Nicolaescu, Liviu I. (2003), The Reidemeister torsion of 3-manifolds , de Gruyter Studies in Mathematics, 30 , Berlín: Walter de Gruyter & Co., pp. Xiv + 249, doi : 10.1515 / 9783110198102 , ISBN 3-11-017383-2, Señor 1968575
- Ray, Daniel B .; Singer, Isadore M. (1973a), "Torsión analítica para variedades complejas", Annals of Mathematics , 2, 98 (1): 154-177, doi : 10.2307 / 1970909 , JSTOR 1970909 , MR 0383463
- Ray, Daniel B .; Singer, Isadore M. (1973b), "Torsión analítica". Ecuaciones diferenciales parciales , Proc. Simpos. Pure Math., XXIII , Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 167-181, MR 0339293
- Ray, Daniel B .; Singer, Isadore M. (1971), " R -torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds.", Advances in Mathematics , 7 (2): 145-210, doi : 10.1016 / 0001-8708 (71) 90045-4 , MR 0295381
- Reidemeister, Kurt (1935), "Homotopieringe und Linsenräume", Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo , 11 : 102–109, doi : 10.1007 / BF02940717
- de Rham, Georges (1936), "Sur les nouveaux invariants topologiques de M. Reidemeister", Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik) , Nouvelle Série, 1 (5): 737–742, Zbl 0016.04501
- Turaev, Vladimir (2002), Torsiones de variedades tridimensionales , Progreso en matemáticas, 208 , Basilea: Birkhäuser Verlag, págs. X + 196, doi : 10.1007 / 978-3-0348-7999-6 , ISBN 3-7643-6911-6, Señor 1958479
- Mazur, Barry . "Observaciones sobre el polinomio de Alexander" (PDF) .
- Seeley, RT (1967), "Los poderes complejos de un operador elíptico", en Calderón, Alberto P. (ed.), Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) , Proceedings of Symposia in Matemáticas puras, 10 , Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 288-307, ISBN 978-0-8218-1410-9, MR 0237943