La topología aritmética es un área de las matemáticas que es una combinación de la topología y la teoría de números algebraicos . Establece una analogía entre campos numéricos y 3 variedades cerradas orientables .
Analogías
Las siguientes son algunas de las analogías utilizadas por los matemáticos entre los campos numéricos y las variedades 3: [1]
- Un campo numérico corresponde a un colector 3 orientable cerrado
- Los ideales en el anillo de números enteros corresponden a enlaces y los ideales primos corresponden a nudos.
- El campo Q de números racionales corresponde a la 3-esfera .
Ampliando los dos últimos ejemplos, existe una analogía entre nodos y números primos en la que se consideran "vínculos" entre números primos. El triple de primos (13, 61, 937) están "enlazados" módulo 2 (el símbolo de Rédei es -1) pero son "pares desvinculados" módulo 2 (los símbolos de Legendre son todos 1). Por lo tanto, estos números primos se han denominado "números primos borromeos triples propios de módulo 2" [2] o "números primos borromeos mod 2". [3]
Historia
En la década de 1960, John Tate [4] dio interpretaciones topológicas de la teoría de campos de clases basadas en la cohomología de Galois , y también Michael Artin y Jean-Louis Verdier [5] basadas en la cohomología de Étale . Luego David Mumford (e independientemente Yuri Manin ) propuso una analogía entre los ideales principales y los nudos [6] que fue explorada más a fondo por Barry Mazur . [7] [8] En la década de 1990, Reznikov [9] y Kapranov [10] comenzaron a estudiar estas analogías, acuñando el término topología aritmética para esta área de estudio.
Ver también
- Geometría aritmética
- Dinámica aritmética
- Teoría de campos cuánticos topológicos
- Programa Langlands
Notas
- ^ Sikora, Adam S. "Analogías entre acciones de grupo en 3-variedades y campos numéricos". Commentarii Mathematici Helvetici 78.4 (2003): 832-844.
- ^ Vogel, Denis (13 de febrero de 2004), productos de Massey en la cohomología de campos numéricos de Galois , urna: nbn: de: bsz: 16-opus-44188
- ^ Morishita, Masanori (22 de abril de 2009), Analogies between Knots and Primes, 3-Manifolds and Number Rings , arXiv : 0904.3399 , Bibcode : 2009arXiv0904.3399M
- ^ J. Tate, Teoremas de dualidad en cohomología de Galois sobre campos numéricos, (Proc. Intern. Cong. Estocolmo, 1962, p. 288-295).
- ^ M. Artin y J.-L. Verdier, Seminario sobre cohomología étale de campos numéricos, Woods Hole Archivado el 26 de mayo de 2011 en la Wayback Machine , 1964.
- ^ ¿Quién inventó la analogía de primos = nudos? Archivado el 18 de julio de 2011 en Wayback Machine , neverendingbooks, blog de lieven le bruyn, 16 de mayo de 2011,
- ^ Comentarios sobre el polinomio de Alexander , Barry Mazur, c.1964
- ↑ B. Mazur, Notes on ´etale cohomology of number fields , Ann. científico CE. Norma. Sorber. 6 (1973), 521-552.
- ↑ A. Reznikov, Teoría de campo de clases de tres variedades (Homología de revestimientos para una variedad no virtualmente positiva para b1) , Sel. Matemáticas. Nuevo ser. 3, (1997), 361–399.
- ^ M. Kapranov, Analogías entre la correspondencia de Langlands y la teoría del campo cuántico topológico , Progreso en matemáticas, 131, Birkhäuser, (1995), 119-151.
Otras lecturas
- Masanori Morishita (2011), Nudos y primas , Springer, ISBN 978-1-4471-2157-2
- Masanori Morishita (2009), analogías entre nudos y primos, 3 colectores y anillos numéricos
- Christopher Deninger (2002), Una nota sobre topología aritmética y sistemas dinámicos
- Adam S. Sikora (2001), Analogías entre acciones grupales en 3-variedades y campos numéricos
- Curtis T. McMullen (2003), De la dinámica en las superficies a los puntos racionales en las curvas
- Chao Li y Charmaine Sia (2012), Nudos y primas
enlaces externos
- Diccionario nudoso de Mazur