En la teoría algebraica de números , el ideal diferente (a veces simplemente el diferente ) se define para medir la (posible) falta de dualidad en el anillo de números enteros de un campo numérico algebraico K , con respecto a la traza del campo . Luego codifica los datos de ramificación para los ideales primos del anillo de números enteros. Fue introducido por Richard Dedekind en 1882. [1] [2]
Definición
Si O K es el anillo de números enteros de K , y tr denota la traza del campo de K al campo de número racional Q , entonces
es una forma cuadrática integral en O K . Su discriminante como forma cuadrática no necesita ser +1 (de hecho, esto sucede solo para el caso K = Q ). Defina la inversa diferente o codiferente [3] [4] o el módulo complementario de Dedekind [5] como el conjunto I de x ∈ K tal que tr ( xy ) es un número entero para todo y en O K , entonces I es un ideal fraccionario de K que contiene O K . Por definición, el diferente ideales δ K es el inverso ideales fraccionada I -1 : es un ideal de O K .
La norma ideal de δ K es igual a la ideal de Z generada por el discriminante campo D K de K .
La diferencia de un elemento α de K con polinomio mínimo f se define como δ (α) = f ′ (α) si α genera el campo K (y cero en caso contrario): [6] podemos escribir
donde el α ( i ) corre sobre todas las raíces del polinomio característico de α que no sea α mismo. [7] El ideal diferente es generado por los differents de todos los números enteros a en O K . [6] [8] Esta es la definición original de Dedekind. [9]
La diferencia también se define para una extensión de grado finito de los campos locales . Desempeña un papel básico en la dualidad de Pontryagin para campos p-ádicos .
Relativa diferente
La diferente con relación δ L / K se define de una manera similar para una extensión de los campos de número L / K . La norma relativa de los diferentes relativa es entonces igual a la discriminante relativa Δ L / K . [10] En una torre de campos L / K / F los differents relativos están relacionados por δ L / F = δ L / K δ K / F . [5] [11]
La diferencia relativa es igual al aniquilador del módulo diferencial relativo de Kähler: [10] [12]
El ideal de la clase de la δ diferente con relación L / K es siempre un cuadrado en el grupo de la clase de O L , el anillo de los enteros de L . [13] Dado que el discriminante relativo es la norma del relativo diferente, es el cuadrado de una clase en el grupo de clases de O K : [14] de hecho, es el cuadrado de la clase Steinitz para O L como O K - módulo. [15]
Ramificación
Los codifica diferentes relativos los de ramificación de datos de la extensión de campo L / K . Un ideal primo p de K se ramifica en L si la factorización de p en L contiene un primer de L a una potencia mayor que 1: esto ocurre si y sólo si p divide el discriminante relativa Δ L / K . Más precisamente, si
- p = P 1 e (1) ... P k e ( k )
es la factorización de p en ideales primos de L entonces P i divide la relativa diferente δ L / K si y sólo si P i se ramifica, es decir, si y sólo si el índice de ramificación e ( i ) es mayor que 1. [ 11] [16] El exponente preciso al que un primo ramificado P divide a δ se denomina exponente diferencial de P y es igual a e - 1 si P está ligeramente ramificado : es decir, cuando P no divide e . [17] En el caso en que P se ramificó violentamente las mentiras diferencial exponente en el intervalo e a e + e ν P (e) - 1. [16] [18] [19] El exponente diferencial puede calcularse a partir de las órdenes de los grupos de ramificación más altos para las extensiones de Galois: [20]
Computación local
La diferente puede ser definido para una extensión de campos locales L / K . En este caso, podemos considerar que la extensión es simple , generada por un elemento primitivo α que también genera una base integral de potencia . Si f es el polinomio mínimo para α, entonces f ' (α) genera la diferencia .
Notas
- ^ Dedekind 1882
- ^ Bourbaki 1994 , p. 102
- ↑ Serre , 1979 , p. 50
- ^ Fröhlich y Taylor 1991 , p. 125
- ↑ a b Neukirch , 1999 , p. 195
- ↑ a b Narkiewicz 1990 , p. 160
- ^ Hecke , 1981 , p. 116
- ^ Hecke , 1981 , p. 121
- ^ Neukirch 1999 , págs. 197-198
- ↑ a b Neukirch , 1999 , p. 201
- ↑ a b Fröhlich y Taylor , 1991 , p. 126
- ↑ Serre , 1979 , p. 59
- ^ Hecke 1981 , págs. 234-236
- ^ Narkiewicz 1990 , p. 304
- ^ Narkiewicz 1990 , p. 401
- ↑ a b Neukirch , 1999 , págs. 199
- ^ Narkiewicz 1990 , p. 166
- ^ Weiss 1976 , p. 114
- ^ Narkiewicz 1990 , págs. 194,270
- ^ Weiss 1976 , p. 115
Referencias
- Bourbaki, Nicolas (1994). Elementos de la historia de las matemáticas . Traducido por Meldrum, John. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6. Señor 1290116 .
- Dedekind, Richard (1882), "Über die Discriminanten endlicher Körper" , Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , 29 (2): 1-56. Consultado el 5 de agosto de 2009.
- Fröhlich, Albrecht ; Taylor, Martin (1991), Teoría algebraica de números , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 27 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-36664-X, Zbl 0744.11001
- Hecke, Erich (1981), Conferencias sobre la teoría de los números algebraicos , Textos de posgrado en matemáticas , 77 , traducido por George U. Brauer; Jay R. Goldman; con la ayuda de R. Kotzen, Nueva York – Heidelberg – Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90595-2, Zbl 0504.12001
- Narkiewicz, Władysław (1990), Teoría elemental y analítica de números algebraicos (2ª, ed. Sustancialmente revisada y ampliada), Springer-Verlag ; PWN-Editores científicos polacos , ISBN 3-540-51250-0, Zbl 0717.11045
- Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números . Grundlehren der mathischen Wissenschaften . 322 . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Señor 1697859 . Zbl 0956.11021 .
- Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields , Graduate Texts in Mathematics , 67 , traducido por Greenberg, Marvin Jay , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90424-7, Zbl 0423.12016
- Weiss, Edwin (1976), Teoría algebraica de números (2da ed. Inalterada), Chelsea Publishing , ISBN 0-8284-0293-0, Zbl 0348.12101