En geometría , la ramificación se "ramifica", en la forma en que se puede ver que la función raíz cuadrada , para números complejos , tiene dos ramas que difieren en el signo. El término también se usa desde la perspectiva opuesta (ramas que se unen) como cuando un mapa de cobertura degenera en un punto de un espacio, con algún colapso de las fibras del mapa.
En análisis complejo
En el análisis complejo , el modelo básico puede tomarse como el mapeo z → z n en el plano complejo, cerca de z = 0. Esta es la imagen local estándar en la teoría de superficies de Riemann , de ramificación de orden n . Ocurre, por ejemplo, en la fórmula de Riemann-Hurwitz para el efecto de las asignaciones en el género . Véase también punto de ramificación .
En topología algebraica
En un mapa de cobertura, la característica de Euler-Poincaré debe multiplicarse por el número de hojas; por lo tanto, la ramificación puede detectarse por algunas gotas de eso. El mapeo z → z n muestra esto como un patrón local: si excluimos 0, miramos 0 <| z | <1 digamos, tenemos (desde el punto de vista de la homotopía ) el círculo mapeado a sí mismo por el n -ésimo mapa de potencia (característica de Euler-Poincaré 0), pero con todo el disco la característica de Euler-Poincaré es 1, n - 1 siendo los puntos 'perdidos' cuando las n hojas se juntan en z = 0.
En términos geométricos, la ramificación es algo que ocurre en la codimensión dos (como la teoría del nudo y la monodromía ); dado que la codimensión real dos es la codimensión compleja uno, el ejemplo complejo local establece el patrón para variedades complejas de dimensiones superiores . En el análisis complejo, las hojas no pueden simplemente doblarse a lo largo de una línea (una variable) o codificar un subespacio en el caso general. El conjunto de ramificación (lugar de ramificación en la base, conjunto de puntos dobles arriba) será dos dimensiones reales más bajo que el colector ambiental , por lo que no lo separará en dos 'lados', localmente: habrá caminos que trazarán alrededor del lugar de ramificación , como en el ejemplo. En geometría algebraica sobre cualquier campo , por analogía, también ocurre en la codimetría algebraica uno.
En teoría algebraica de números
En extensiones algebraicas de
Ramificación en la teoría algebraica de números significa un ideal primo que se factoriza en una extensión para dar algunos factores ideales primos repetidos. Es decir, dejaser el anillo de números enteros de un campo numérico algebraico , y un ideal primordial de. Para una extensión de campo podemos considerar el anillo de los enteros (que es el cierre integral de en ), y el ideal de . Este ideal puede ser primordial o no, pero para fines finitos., tiene una factorización en ideales primarios:
donde el son ideales primordiales distintos de . Luegose dice que se ramifica en Si para algunos ; de lo contrario esunramificado . En otras palabras, ramifica en si el índice de ramificación es mayor que uno para algunos . Una condición equivalente es quetiene un elemento nilpotente distinto de cero : no es un producto de campos finitos . La analogía con el caso de la superficie de Riemann ya fue señalada por Richard Dedekind y Heinrich M. Weber en el siglo XIX.
La ramificación está codificada en por el discriminante relativo y enpor lo relativo diferente . El primero es un ideal de y es divisible por si y solo si algún ideal de divisor está ramificado. Este último es un ideal de y es divisible por el ideal primo de precisamente cuando está ramificado.
La ramificación es dócil cuando los índices de ramificaciónson todos relativamente primos para la característica de residuo p de, de lo contrario salvaje . Esta condición es importante en la teoría del módulo de Galois . Una extensión finita genéricamente étalede los dominios de Dedekind es dócil si y solo si el rastro es sobreyectiva.
En campos locales
El análisis más detallado de la ramificación en los campos numéricos se puede realizar utilizando extensiones de los números p-ádicos , porque es una cuestión local . En ese caso, se define una medida cuantitativa de ramificación para las extensiones de Galois , básicamente preguntando hasta dónde mueve el grupo de Galois los elementos del campo con respecto a la métrica. Se define una secuencia de grupos de ramificación , reificando (entre otras cosas) la ramificación salvaje (no domesticada). Esto va más allá de la analogía geométrica.
En álgebra
En teoría valoración , la teoría de ramificación de las valoraciones estudia el conjunto de extensiones de una valoración de un campo K en un campo de extensión de K . Esto generaliza las nociones en la teoría algebraica de números, campos locales y dominios de Dedekind.
En geometría algebraica
También existe la noción correspondiente de morfismo unramificado en geometría algebraica. Sirve para definir morfismos étale .
Dejar ser un morfismo de esquemas. El soporte de la gavilla cuasicoherentese llama el locus de ramificación de y la imagen del lugar de ramificación, , se llama el lugar geométrico de la rama de. Si Nosotros decimos eso está formalmente sin ramificar y si es también de presentación localmente finita, decimos que no está ramificado (ver Vakil 2017 ).
Ver también
- Polinomio de Eisenstein
- Polígono de Newton
- Expansión de Puiseux
- Revestimiento ramificado
Referencias
- Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números . Grundlehren der mathischen Wissenschaften . 322 . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Señor 1697859 . Zbl 0956.11021 .
- Vakil, Ravi (18 de noviembre de 2017). The Rising Sea: Fundamentos de la geometría algebraica (PDF) . Consultado el 5 de junio de 2019 .
enlaces externos
- "Ramificación en campos numéricos" . PlanetMath .