Paquete tangente

En geometría diferencial , el fibrado tangente de una variedad diferenciable es una variedad que reúne todos los vectores tangentes en . Como conjunto, viene dado por la unión disjunta ^{[nota 1]} de los espacios tangentes de . Es decir,${\ estilo de visualización M}$${\displaystyleTM}$${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización M}$

donde denota el espacio tangente a en el punto . Entonces, un elemento de puede considerarse como un par , donde es un punto en y es un vector tangente en .${\displaystyle T_{x}M}$${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización x}$${\displaystyleTM}$ ${\ estilo de visualización (x, v)}$${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización v}$${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización x}$

definido por . Esta proyección mapea cada elemento del espacio tangente al punto único .${\ estilo de visualización \ pi (x, v) = x}$${\displaystyle T_{x}M}$${\ estilo de visualización x}$

El paquete tangente viene equipado con una topología natural (descrita en una sección a continuación ). Con esta topología, el paquete tangente a una variedad es el ejemplo prototípico de un paquete vectorial (que es un paquete de fibras cuyas fibras son espacios vectoriales ). Una sección de es un campo vectorial en , y el fibrado dual es el fibrado cotangente , que es la unión disjunta de los espacios cotangentes de . Por definición, una variedad es paralelizable si y solo si el paquete tangente es trivial${\displaystyleTM}$${\ estilo de visualización M}$${\displaystyleTM}$${\ estilo de visualización M}$${\ estilo de visualización M}$. Por definición, una variedad está enmarcada si y solo si el paquete tangente es establemente trivial, lo que significa que para algún paquete trivial, la suma de Whitney es trivial. Por ejemplo, la esfera n -dimensional Sn está enmarcada para todo ⁿ , pero es paralelizable solo para n = 1, 3, 7 ( según los resultados de Bott-Milnor y Kervaire).${\ estilo de visualización M}$${\displaystyleTM}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle TM\oplus E}$

Una de las funciones principales del paquete tangente es proporcionar un dominio y un rango para la derivada de una función suave. Es decir, si es una función suave, con y variedades suaves, su derivada es una función suave .${\displaystyle f:M\rightarrow N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$

De manera informal, el paquete tangente de una variedad (que en este caso es un círculo) se obtiene considerando todos los espacios tangentes (arriba) y uniéndolos de manera suave y sin superposición (abajo). ^{[nota 1]}