En matemáticas , una variedad diferenciablede dimensión n se llama paralelizable [1] si existen campos vectoriales suaves
en el colector, de modo que en cada punto de los vectores de la tangente
proporcionar una base del espacio tangente en. De manera equivalente, el paquete tangente es un paquete trivial , [2] de modo que el paquete principal asociado de marcos lineales tiene una sección global en
Una elección particular de tal base de campos vectoriales en se llama paralelización (o un paralelismo absoluto ) de.
Ejemplos de
- Un ejemplo con n = 1 es el círculo : podemos tomar V 1 como el campo vectorial unitario tangente, digamos que apunta en el sentido contrario a las agujas del reloj. El toro de dimensión n también es paralelizable, como puede verse expresándolo como un producto cartesiano de círculos. Por ejemplo, tome n = 2 y construya un toro a partir de un cuadrado de papel cuadriculado con los bordes opuestos pegados entre sí, para tener una idea de las dos direcciones de la tangente en cada punto. De manera más general, cada grupo de Lie G es paralelizable, ya que una base para el espacio tangente en el elemento de identidad se puede mover mediante la acción del grupo de traducción de G sobre G (cada traducción es un difeomorfismo y, por lo tanto, estas traducciones inducen isomorfismos lineales entre espacios tangentes de puntos en G ).
- Un problema clásico fue determinar cuáles de las esferas S n son paralelizables. El caso de dimensión cero S 0 es trivialmente paralelizable. El caso S 1 es el círculo, que es paralelizable como ya se ha explicado. El teorema de la bola peluda muestra que S 2 no es paralelizable. Sin embargo, S 3 es paralelizable, ya que es el grupo de Lie SU (2) . La única otra esfera paralelizable es S 7 ; esto fue probado en 1958, por Michel Kervaire , y por Raoul Bott y John Milnor , en un trabajo independiente. Las esferas paralelizables corresponden precisamente a elementos de norma unitaria en las álgebras de división normalizadas de números reales, números complejos, cuaterniones y octoniones , lo que permite construir un paralelismo para cada uno. Probar que otras esferas no son paralelizables es más difícil y requiere topología algebraica .
- El producto de las variedades paralelizables es paralelizable.
- Cada colector tridimensional orientable es paralelizable.
Observaciones
- Cualquier colector paralelizable es orientable .
- El término variedad enmarcada (en ocasiones variedad aparejada ) se aplica con mayor frecuencia a una variedad incrustada con una trivialización dada del paquete normal , y también a una variedad abstracta (es decir, no integrada) con una trivialización estable dada del paquete tangente .
- Una noción relacionada es el concepto de variedad π . [3] Una variedad suave M se llama variedad π si, cuando está incrustada en un espacio euclidiano de alta dimensión, su paquete normal es trivial. En particular, cada variedad paralelizable es una variedad π.
Ver también
Notas
- ^ Obispo, Richard L .; Goldberg, Samuel I. (1968), Tensor Analysis on Manifolds , Nueva York: Macmillan, p. 160
- ^ Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974), Characteristic Classes , Annals of Mathematics Studies, 76 , Princeton University Press, p. 15, ISBN 0-691-08122-0
- ^ Milnor, John W. (1958), Variedades diferenciables que son esferas de homotopía (PDF)
Referencias
- El obispo, Richard L .; Goldberg, Samuel I. (1968), Tensor Analysis on Manifolds (Primera edición de Dover 1980), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
- Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974), Clases características , Princeton University Press
- Milnor, John W. (1958), Variedades diferenciables que son esferas de homotopía (PDF) , notas mimeografiadas