En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de la representación , los functores de Schur son ciertos functores de la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo fijo a sí mismo. Generalizan las construcciones de poderes exteriores y poderes simétricos de un espacio vectorial . Los functores de Schur están indexados por diagramas de Young de tal manera que el diagrama horizontal con n celdas corresponde al n- ésimo funtor de potencia exterior, y el diagrama vertical con n celdas corresponde al na functor de potencia simétrico. Si un espacio vectorial V es una representación de un grupo G , entoncestambién tiene una acción natural de G para cualquier functor de Schur.
Definición
Los functores de Schur están indexados por particiones y se describen a continuación. Sea R un anillo conmutativo, E un módulo R y λ una partición de un entero positivo n . Deje que T sea una Tabla de Young de λ forma, la indexación por lo tanto los factores del n -fold producto directo , E × E × ... × E , con las cajas de T . Considere esos mapas de módulos R satisfaciendo las siguientes condiciones
(1) es multilineal,
(2) está alternando en las entradas indexadas por cada columna de T ,
(3) satisface una condición de intercambio que indica que si son números de la columna i de T entonces
donde la suma es superior a n -tuplas x ' obtenida de x intercambiando los elementos indexados por I con cualquier elementos indexados por los números en la columna (en orden).
El módulo R universal que se extiende a un mapeo de módulos Res la imagen de E bajo el functor de Schur indexada por λ.
Para un ejemplo de la condición (3) colocada en suponga que λ es la partición y el cuadro T está numerado de tal manera que sus entradas son 1, 2, 3, 4, 5 cuando se leen de arriba a abajo (de izquierda a derecha). Tomando(es decir, los números en la segunda columna de T ) tenemos
mientras que si luego
Ejemplos de
Fije un espacio vectorial V sobre un campo de característica cero. Identificamos particiones y los correspondientes diagramas de Young. Las siguientes descripciones son válidas: [1]
- Para una partición λ = (n) el functor de Schur S λ ( V ) = Λ n ( V ).
- Para una partición λ = (1, ..., 1) (repetida n veces) el functor de Schur S λ ( V ) = Sym n ( V ).
- Para una partición λ = (2, 1) la Schur funtor S λ ( V ) es el conúcleo de la comultiplication mapa de poderes exteriores lambda 3 ( V ) → Λ 2 ( V ) ⊗ V .
- Para una partición λ = (2, 2) el functor de Schur S λ ( V ) es el cociente de Λ 2 ( V ) ⊗ Λ 2 ( V ) por las imágenes de dos mapas. Uno es la composición Λ 3 ( V ) ⊗ V → Λ 2 ( V ) ⊗ V ⊗ V → Λ 2 ( V ) ⊗ Λ 2 ( V ), donde el primer mapa es la comultiplicación a lo largo de la primera coordenada. El otro mapa es una comultiplicación Λ 4 ( V ) → Λ 2 ( V ) ⊗ Λ 2 ( V ).
- Para una partición λ = ( n , 1, ..., 1), con 1 m repetidas veces, el functor de Schur S λ ( V ) es el cociente de Λ n ( V ) ⊗ Sym m ( V ) por la imagen de la composición de la multiplicación en potencias exteriores y la multiplicación en potencias simétricas:
Aplicaciones
Sea V un espacio vectorial complejo de dimensión k . Es una representación tautológica de su grupo de automorfismos GL ( V ). Si λ es un diagrama en el que cada fila no tiene más de k celdas, entonces S λ ( V ) es una representación GL ( V ) irreducible de mayor peso λ. De hecho, cualquier representación racional de GL ( V ) es isomorfa a una suma directa de representaciones de la forma S λ ( V ) ⊗ det ( V ) ⊗ m , donde λ es un diagrama de Young con cada fila estrictamente más corta que k , y m es cualquier entero (posiblemente negativo).
En este contexto , la dualidad Schur-Weyl afirma que, como-módulo
dónde es el número de cuadros jóvenes estándar de forma λ. De manera más general, tenemos la descomposición del producto tensorial como-bimódulo
dónde es el módulo de Specht indexado por λ. Los functores de Schur también se pueden usar para describir el anillo de coordenadas de ciertas variedades de banderas.
Pletismo
Para dos diagramas de Young λ y μ considere la composición de los correspondientes functores de Schur S λ (S μ (-)). Esta composición se llama pletismo de λ y μ. De la teoría general se sabe [1] que, al menos para espacios vectoriales sobre un campo cero característico, el pletismo es isomorfo a una suma directa de functores de Schur. El problema de determinar qué diagramas de Young ocurren en esa descripción y cómo calcular sus multiplicidades está abierto, aparte de algunos casos especiales como Sym m (Sym 2 ( V )).
Ver también
Referencias
- ↑ a b Weyman, Jerzy (2003). Cohomología de paquetes de vectores y syzygies . Prensa de la Universidad de Cambridge. doi : 10.1017 / CBO9780511546556 . ISBN 9780511546556.
- J. Towber, Two new functors from modules to álgebras, J. Algebra 47 (1977), 80-104. doi: 10.1016 / 0021-8693 (77) 90211-3
- W. Fulton, Young Tableaux, con aplicaciones a la teoría de la representación y la geometría . Prensa de la Universidad de Cambridge, 1997, ISBN 0-521-56724-6 .