En geometría algebraica , el problema de la intersección residual pregunta lo siguiente:
- Dado un subconjunto Z en la intersección
de variedades, entender el complemento de Z en la intersección; es decir, el conjunto residual a Z .
La intersección determina una clase
, el producto de intersección , en el grupo Chow de un espacio ambiental y, en esta situación, el problema es entender la clase, la clase residual a Z :
![{\ Displaystyle (X_ {1} \ cdots X_ {r}) - (X_ {1} \ cdots X_ {r}) ^ {Z}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
significa la parte apoyada en Z ; clásicamente el grado de la pieza apoyada en Z se llama la equivalencia de Z .
Las dos aplicaciones principales son las soluciones a problemas de geometría enumerativa (por ejemplo, el problema cónico de Steiner ) y la derivación de la fórmula de múltiples puntos , la fórmula que permite contar o enumerar los puntos en una fibra incluso cuando están infinitesimalmente cerca .
El problema de la intersección residual se remonta al siglo XIX. [ cita requerida ] La formulación moderna de los problemas y las soluciones se debe a Fulton y MacPherson. Para ser precisos, desarrollan la teoría de la intersección como una forma de resolver los problemas de las intersecciones residuales (es decir, mediante el uso de la clase Segre de un cono normal a una intersección). debilitado se debe a ( Kleiman 1981 ) .error de harv: sin destino: CITEREFKleiman1981 ( ayuda )
Fórmula de exceso de intersección de Quillen
La fórmula en el entorno topológico se debe a ( Quillen 1971 )error de harv: sin destino: CITEREFQuillen1971 ( ayuda ).
Ahora, suponga que se nos da Y ″ → Y ' y supongamos que i ' : X ' = X × Y Y ' → Y ' es regular de codimensión d ', de modo que se puede definir i ' ! como antes. Sea F el paquete excedente de i e i ' ; es decir, es el retroceso a X ″ del cociente de N por el paquete normal de i ' . Sea e ( F ) la clase de Euler ( clase Chern superior ) de F , que vemos como un homomorfismo de A k - d ' ( X ″ ) a A k - d ( X ″ ). Luego
Fórmula de exceso de intersección -
donde yo ! se determina por el morfismo Y " → Y ' → Y .
Finalmente, es posible generalizar la construcción y la fórmula anteriores para completar los morfismos de intersección ; esta extensión se analiza en el § 6.6. así como Ch. 17 de loc. cit.
Prueba : se puede deducir la fórmula de la intersección a partir de la forma bastante explícita de un homomorfismo de Gysin. Deje que E sea un haz de vector en X de la fila r y q : P ( E ⊕ 1) → X el haz proyectiva (aquí 1 significa la línea paquete trivial). Como de costumbre, la identidad P ( E ⊕ 1) como una unión disjunta de P ( E ) y E . Luego está la secuencia exacta tautológica
![{\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-1)\to q^{*}E\oplus 1\to \xi \to 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
en P ( E ⊕ 1). Afirmamos que el homomorfismo de Gysin se da como
![{\displaystyle A_{k}(E)\to A_{k-r}(X),\,x\mapsto q_{*}(e(\xi ){\overline {x}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde e ( ξ ) = c r ( ξ ) es la clase de Euler de ξ y
es un elemento de A k ( P ( E ⊕ 1)) que restringe ax . Dado que la inyección q * : A k - r ( X ) → A k ( P ( E ⊕ 1)) se divide, podemos escribir
![{\displaystyle {\overline {x}}=q^{*}y+z}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde z es una clase de un ciclo apoyado en P ( E ). Por la fórmula de la suma de Whitney, tenemos: c ( q * E ) = (1 - c 1 ( O (1))) c ( ξ ) y entonces
![{\displaystyle e(\xi )=\sum _{0}^{r}c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{i}c_{r-i}(q^{*}E).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces obtenemos:
![{\displaystyle q_{*}(e(\xi )q^{*}y)=\sum _{i=0}^{r}s_{i-r}(E\oplus 1)c_{r-i}(E)y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde s I ( E ⊕ 1) es la i -ésima clase de Segre . Dado que el término cero de una clase Segre es la identidad y sus términos negativos son cero, la expresión anterior es igual a y . A continuación, dado que la restricción de ξ a P ( E ) tiene una sección que no se desvanece en ninguna parte y z es una clase de ciclo apoyado en P ( E ), se sigue que e (ξ) z = 0 . Por lo tanto, la escritura π para la proyección del mapa de E y J para la inclusión E a P ( E ⊕1), obtenemos:
![{\displaystyle \pi ^{*}q_{*}(e(\xi ){\overline {x}})=\pi ^{*}(y)=j^{*}q^{*}y=j^{*}({\overline {x}}-z)=j^{*}({\overline {x}})=x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde la penúltima igualdad se debe a la razón de soporte como antes. Esto completa la prueba de la forma explícita del homomorfismo de Gysin.
El resto es formal y sencillo. Usamos la secuencia exacta
![{\displaystyle 0\to \xi '\to \xi \to r^{*}F\to 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde r es el mapa de proyección de. Escribiendo P para el cierre de la especialización de V , por la fórmula de la suma de Whitney y la fórmula de la proyección, tenemos:
![{\displaystyle i^{!}(V)=r_{*}(e(\xi )P)=r_{*}(e(r^{*}F)e(\xi ')P)=e(F)r_{*}(e(\xi ')P)=e(F){i'}^{!}(V).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un caso especial de la fórmula es la fórmula de auto-intersección , que dice: dada una incrustación regular i : X → Y con paquete normal N ,
![{\displaystyle i^{*}i_{*}=e(N).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(Para obtener esto, tome Y ' = Y ″ = X. ) Por ejemplo, a partir de esto y la fórmula de proyección , cuando X , Y son suaves, se puede deducir la fórmula:
![{\displaystyle i_{*}(x)i_{*}(y)=i_{*}(e(N)xy).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
en el anillo de Chow de Y .
Dejar
ser el estallido a lo largo de un subesquema cerrado X ,
el divisor excepcional y
la restricción de f . Suponga que f puede escribirse como una inmersión cerrada seguida de un morfismo suave (por ejemplo, Y es cuasi proyectiva). Entonces, de
, uno obtiene:
Fórmula clave de Jouanolou -
.
A lo largo de la sección del ejemplo, el campo base está algebraicamente cerrado y tiene la característica cero. Todos los ejemplos siguientes (excepto el primero) son de ( Fulton 1998 )error de harv: sin destino: CITEREFFulton1998 ( ayuda ).
Ejemplo: intersección de dos curvas planas que contienen el mismo componente
Dejar
y
ser dos curvas planas en
. Establecer teóricamente, su intersección
![{\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}\cap C_{2}&=Z(x_{1},x_{2})\cup Z(x_{0})\\&=[1:0:0]\cup \{[0:a:b]\in \mathbb {P} ^{2}\}\\&=Z_{1}\cup Z_{2}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es la unión de un punto y un incrustado
. Según el teorema de Bézout , se espera que esta intersección contenga
puntos ya que es la intersección de dos cónicas, por lo que interpretar esta intersección requiere una intersección residual. Luego
![{\displaystyle (C_{1}\cap C_{2})^{Z_{2}}=\left\{{\frac {c(N_{C_{1}/\mathbb {P} ^{2}})c(N_{C_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}{c(N_{Z_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}}\right\}_{1}\in A_{1}(Z_{2})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Desde
son ambos grados
hipersuperficies, su paquete normal es el retroceso de
, por lo tanto, el numerador de los dos componentes residuales es
![{\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {O}}(2))c({\mathcal {O}}(2))&=(1+2[H])(1+2[H])\\&=1+4[H]+4[H]^{2}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Porque
viene dado por el lugar de desaparición
su paquete normal es
, por eso
![{\displaystyle {\begin{aligned}c(N_{Z_{1}/\mathbb {P} ^{2}})&=c({\mathcal {O}}(1)\oplus {\mathcal {O}}(1))\\&=(1+[H])(1+[H])\\&=1+2[H]+[H]^{2}\\&=1\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
desde
es dimensión
. Del mismo modo, el numerador también es
, por lo tanto, la intersección residual es de grado
, como se esperaba desde
es la intersección completa dada por el lugar de fuga
. Además, el paquete normal de
es
ya que está dado por el locus de desaparición
, entonces
![{\displaystyle c(N_{Z_{2}}/X)=1+[H]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Invertir
da la serie
![{\displaystyle {\frac {1}{1+[H]}}=1-[H]+[H]^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
por eso
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {c(N_{C_{1}/\mathbb {P} ^{2}})c(N_{C_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}{c(N_{Z_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}}=&(1+4[H]+4[H]^{2})(1-[H]+[H]^{2})\\=&(1-[H]+[H]^{2})\\&+(4[H]-4[H]^{2})\\&+4[H]^{2}\\=&1+3[H]+[H]^{2}\\=&1+3[H]\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dando la intersección residual de
por
. Impulsar estas dos clases da
en
, como se desee.
Ejemplo: el grado de una curva en tres superficies
Dejar
Ser tres superficies. Suponga que la intersección de la teoría del esquema
es la unión disjunta de una curva suave C y un esquema S de dimensión cero . Cabe preguntarse: ¿cuál es el grado de S ? Esto puede ser respondido por #formula .
Ejemplo: cónicas tangentes a cinco líneas dadas
Las cónicas del plano están parametrizadas por
. Dadas cinco líneas generales
, dejar
ser las hipersuperficies de las cónicas tangentes a
; se puede demostrar que estas hipersuperficies tienen grado dos.
La intersección
contiene la superficie Veronese
que consta de líneas dobles; es un componente conectado de la teoría de esquemas de
. Dejar
ser la clase hiperplano = la primera clase de Chern de O (1) en el anillo de Chow de Z . Ahora,
tal que
retrocede a
y entonces el paquete normal a
restringido a Z es
![{\displaystyle N_{H_{\ell _{i}}/\mathbb {P} ^{5}}|_{Z}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{5}}(H_{\ell _{i}})|_{Z}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{5}}(2)|_{Z}={\mathcal {O}}_{Z}(4).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces, la clase Chern total es
![{\displaystyle c(N_{H_{\ell _{i}}/\mathbb {P} ^{5}}|_{Z})=1+4h.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De manera similar, usando ese paquete normal para un paquete regular
es
así como la secuencia de Euler , obtenemos que la clase Chern total del paquete normal a
es
![{\displaystyle c(N_{Z/\mathbb {P} ^{5}})=c(T_{\mathbb {P} ^{5}}|_{Z})/c(T_{Z})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{5}}(1)^{\oplus 6}|_{Z})/c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(1)^{\oplus 3})=(1+2h)^{6}/(1+h)^{3}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Así, la clase Segre de
es
![{\displaystyle s(Z,\mathbb {P} ^{5})=c(N_{Z/\mathbb {P} ^{5}})^{-1}=1-9h+51h^{2}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por tanto, la equivalencia de Z es
![{\displaystyle \deg((1+4h)^{5}(1-9h+51h^{2}))=160-180+51=31.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Según el teorema de Bézout , el grado de
es
y por lo tanto, el conjunto residual consiste en un solo punto correspondiente a una única cónica tangente a las cinco líneas dadas.
Alternativamente, la equivalencia de Z se puede calcular con #formula? ; desde
y
, es:
![{\displaystyle 3+4(3)+(40-10(6)+21)\deg(Z)=31.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplo: cónicas tangentes a cinco cónicas dadas
Supongamos que se nos dan cinco cónicas planas
en posiciones generales. Se puede proceder exactamente como en el ejemplo anterior. Por lo tanto, dejemos
ser la hipersuperficie de las cónicas tangente a
; se puede demostrar que tiene grado 6. La intersección
contiene la superficie veronesa Z de líneas dobles.
Ejemplo: funcionalidad de la construcción de un homomorfismo de Gysin refinado
La fuctorialidad es la sección a la que se refiere el título: dados dos incrustaciones
,
![{\displaystyle (j\circ i)^{!}=j^{!}\circ i^{!}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde la igualdad tiene el siguiente sentido: