En matemáticas , la clase Segre es una clase característica utilizada en el estudio de los conos , una generalización de los paquetes de vectores . Para los paquetes de vectores, la clase Segre total es inversa a la clase Chern total y, por lo tanto, proporciona información equivalente; la ventaja de la clase Segre es que se generaliza a conos más generales, mientras que la clase Chern no. La clase Segre fue introducida en el caso no singular por Beniamino Segre ( 1953 ). En el tratamiento moderno de la teoría de la intersección en geometría algebraica, como se desarrolló, por ejemplo, en el libro definitivo de Fulton [1]Las clases de Segre juegan un papel fundamental.
DefiniciónSuponer es un cono sobre, es la proyección de la terminación proyectiva de a , y es el paquete de líneas anti-tautológicas en. Viendo la clase Chern como un endomorfismo grupal del grupo Chow de, la clase Segre total de es dado por:
La a clase de Segre es simplemente el la pieza calificada de . Si es de dimensión pura encima entonces esto viene dado por:
La razón para usar en vez de es que esto hace que la clase Segre total sea estable bajo la adición del paquete trivial .
Si Z es un subesquema cerrado de un esquema algebraico X , entoncesdenotar la clase Segre del cono normal para.
Relación con las clases de Chern para paquetes de vectores
Para un paquete de vectores holomórficos sobre una variedad compleja una clase total de Segre es la inversa de la clase Chern total , ver, por ejemplo, [2]
Explícitamente, para una clase Chern total
uno obtiene la clase total de Segre
dónde
Dejar ser raíces de Chern, es decir, valores propios formales de dónde es una curvatura de una conexión en.
Mientras que la clase Chern c (E) se escribe como
dónde es un polinomio simétrico elemental de grado en variables
el Segre para el paquete dual que tiene raíces de Chern está escrito como
Ampliando la expresión anterior en potencias de uno puede ver eso está representado por un polinomio simétrico homogéneo completo de
PropiedadesA continuación se muestran algunas propiedades básicas.
- Para cualquier cono C (por ejemplo, un paquete de vectores),. [3]
- Para un cono C y un paquete de vectores E ,
- [4]
- Si E es un paquete de vectores, entonces [5]
- por .
- es el operador de identidad.
- para otro paquete del vector F .
- Si L es un paquete de líneas, entonces, Menos la primera clase de Chern de L . [5]
- Si E es un paquete vectorial de rango, luego, para un paquete de líneas L ,
- [6]
Una propiedad clave de una clase Segre es la invariancia biracional: está contenida en lo siguiente. Dejarser un morfismo apropiado entre esquemas algebraicos tales que es irreducible y cada componente irreducible de mapas en . Entonces, para cada subesquema cerrado, y la restricción de ,
- [7]
Del mismo modo, si es un morfismo plano de dimensión relativa constante entre esquemas algebraicos de dimensión pura, entonces, para cada subesquema cerrado, y la restricción de ,
- [8]
Un ejemplo básico de invariancia binacional lo proporciona una explosión. Dejarser un golpe en marcha a lo largo de algunos subesquema cerrado Z . Desde el divisor excepcional es un divisor de Cartier efectivo y el cono normal (o paquete normal) es ,
donde usamos la notación . [9] Por lo tanto,
dónde es dado por .
Ejemplos deEjemplo 1
Sea Z una curva suave que es una intersección completa de los divisores de Cartier efectivosen una variedad X . Suponga que la dimensión de X es n + 1. Entonces la clase Segre del cono normal a es: [10]
De hecho, por ejemplo, si Z está incrustado regularmente en X , entonces, dado que es el paquete normal y (ver Propiedades del cono normal # ), tenemos:
Ejemplo 2
El siguiente es el ejemplo 3.2.22. de ( Fulton 1998 )error de harv: sin destino: CITEREFFulton1998 ( ayuda ). Recupera algunos resultados clásicos del libro de Schubert sobre geometría enumerativa .
Viendo el espacio proyectivo dual como el paquete Grassmann parametrizar los 2 planos en , considere la secuencia exacta tautológica
dónde son los paquetes tautológicos sub y cociente. Con, el paquete proyectivo es la variedad de cónicas en . Con, tenemos y así, usando fórmulas de cálculo de clase Chern # ,
y por lo tanto
dónde Los coeficientes en tener los significados geométricos enumerativos; por ejemplo, 92 es el número de cónicas que se encuentran con 8 líneas generales.
Ver también: Intersección residual # Ejemplo: cónicas tangentes a las cinco cónicas dadas .
Ejemplo 3
Sea X una superficie ydivisores Cartier eficaces en él. Dejarser la intersección de la teoría del esquema de y (viendo esos divisores como subesquemas cerrados). Por simplicidad, supongase encuentran solamente en un único punto P con la misma multiplicidad m y que P es un punto de suave X . Entonces [11]
Para ver esto, considere la explosión de X a lo largo de P y sea, La estricta transformada de Z . Por la fórmula en #Properties ,
Desde dónde , la fórmula anterior resulta.
Multiplicidad a lo largo de una subvariedadReferencias- ^ Fulton W. (1998). Teoría de la intersección , p.50. Springer, 1998.
- ↑ Fulton , p.50.error de harvnb: sin destino: CITEREFFulton ( ayuda )
- ^ Fulton , ejemplo 4.1.1.error de harvnb: sin destino: CITEREFFulton ( ayuda )
- ^ Fulton , ejemplo 4.1.5. error de harvnb: sin destino: CITEREFFulton ( ayuda )
- ^ a b Fulton , Proposición 3.1.error de harvnb: sin destino: CITEREFFulton ( ayuda )
- ^ Fulton , ejemplo 3.1.1.error de harvnb: sin destino: CITEREFFulton ( ayuda )
- ^ Fulton , Proposición 4.2. (a)error de harvnb: sin destino: CITEREFFulton ( ayuda )
- ^ Fulton , Proposición 4.2. (B)error de harvnb: sin destino: CITEREFFulton ( ayuda )
- ^ Fulton , § 2.5.error de harvnb: sin destino: CITEREFFulton ( ayuda )
- ^ Fulton , ejemplo 9.1.1.error de harvnb: sin destino: CITEREFFulton ( ayuda )
- ^ Fulton , ejemplo 4.2.2.error de harvnb: sin destino: CITEREFFulton ( ayuda )
- ^ Fulton , ejemplo 4.3.1.error de harvnb: sin destino: CITEREFFulton ( ayuda )
- Segre, Beniamino (1953), "Nuovi metodi e resultati nella geometria sulle varietà algebriche", Ann. Estera. Pura Appl. (en italiano), 35 (4): 1–127, MR 0061420