En geometría algebraica, el grupo Chow de una pila es una generalización del grupo Chow de una variedad o esquema a pilas . Para una pila de cociente , El grupo Chow de X es el mismo que el G - grupo Chow equivariante de Y .
Una diferencia clave con la teoría de los grupos de Chow de una variedad es que se permite que un ciclo lleve automorfismos no triviales y, en consecuencia, las operaciones teóricas de intersección deben tener esto en cuenta. Por ejemplo, el grado de un ciclo 0 en una pila no necesita ser un número entero, sino un número racional (debido a estabilizadores no triviales).
Definiciones
Angelo Vistoli ( 1989 ) desarrolla la teoría básica (principalmente sobre Q ) para el grupo de Chow de una pila de Deligne-Mumford (separada) . Allí, el grupo de Chow se define exactamente como en el caso clásico: es el grupo abeliano libre generado por subestaciones cerradas integrales módulo de equivalencia racional.
Si una pila X se puede escribir como la pila del cociente para algunos variedad cuasi-proyectiva Y con una acción linealizado de un grupo algebraico lineal G , entonces el grupo Chow de X se define como el G - grupo Chow equivariante de Y . Este enfoque fue introducido y desarrollado por Dan Edidin y William A. Graham, así como por Burt Totaro . Andrew Kresch ( 1999 ) luego extendió la teoría a una pila admitiendo una estratificación por pilas de cocientes.
Para grupos de Chow superiores (precursores de homologías motívicas ) de pilas algebraicas, consulte Teoría de la intersección de pilas de Roy Joshua: I y II. [1]
Ejemplos de
Los cálculos dependen de las definiciones. Por lo tanto, aquí procedemos de alguna manera axiomáticamente. Específicamente, asumimos: dada una pila algebraica X localmente de tipo finito sobre un campo base k ,
- (homotopía-invariancia) si E es un paquete de vectores de rango n en X , entonces.
- para cada subestación integral Z de dimensión < p ,, un corolario de una secuencia de localización.
Estas propiedades son válidas si X es Deligne-Mumford y se espera que sean válidas para cualquier otra teoría razonable.
Tomamos X como la pila de clasificación, La pila de principal G -bundles para un grupo de suaves algebraica lineal G . Por definición, es la pila del cociente, donde * se ve como la pila asociada a * = Spec k . Lo aproximamos de la siguiente manera. Dado un entero p , elija una representacióntal que hay un subconjunto abierto G invariante U de V sobre el cual G actúa libremente y el complemento tiene codimensión . Dejar ser el cociente de por la acción . Tenga en cuenta que la acción es gratuita y es un paquete de vectores sobre . Por propiedad 1 aplicada a este paquete de vectores,
Entonces, desde , por Propiedad 2,
desde .
Como ejemplo concreto, dejemos y deja que actúe escalando. Luego actúa libremente sobre . Por el cálculo anterior, para cada par de números enteros n , p tales que,
En particular, para cada entero p ≥ 0,. En general,para el hiperplano clase h , k- veces auto-intersección ypara k negativo y así
en el que el lado derecho es independiente de los modelos utilizados en el cálculo (ya diferente h ' s corresponden en virtud de las proyecciones entre los espacios proyectivas.) Para, la clase , cualquier n , puede considerarse como la clase fundamental de.
Del mismo modo, tenemos
dónde es la primera clase Chern de h ( yc y h se identifican cuando se identifican grupos de Chow y anillos de Chow de espacios proyectivos). Desde, tenemos eso es el libre -módulo generado por .
Clase fundamental virtual
La noción se origina en la teoría de Kuranishi en geometría simpléctica . [1] [2]
En el § 2. de Behrend (2009) , dada una pila de DM X y C X el cono normal intrínseco a X , K. Behrend define la clase fundamental virtual de X como
donde s 0 es la sección cero del cono determinada por la teoría de la obstrucción perfecta y s 0 ! es el homomorfismo refinado de Gysin definido como en la "Teoría de la intersección" de Fulton. El mismo documento muestra que el grado de esta clase, moral la integración sobre ella, es igual a la ponderada característica de Euler de la función Behrend de X .
Los enfoques más recientes (alrededor de 2017) realizan este tipo de construcción en el contexto de la geometría algebraica derivada . [3]
Ver también
Notas
- ^ Fukaya, Kenji ; Ono, Kaoru (1999). "Conjetura de Arnold e invariante de Gromov-Witten" . Topología . 38 (5): 933–1048. doi : 10.1016 / s0040-9383 (98) 00042-1 . Señor 1688434 .
- ^ Perdón, John (28 de abril de 2016). "Un enfoque algebraico de los ciclos fundamentales virtuales en los espacios de módulos de curvas pseudo-holomórficas". Geometría y topología . 20 (2): 779–1034. arXiv : 1309.2370 . doi : 10.2140 / gt.2016.20.779 . ISSN 1364-0380 .
- ^ § 1.2.1. de Cisinski, Denis-Charles; Khan, Adeel A. (9 de mayo de 2017). "Valiente nueva teoría de homotopía motivic II: Teoría K invariante de homotopía". arXiv : 1705.03340 [ math.AT ].
Referencias
- Behrend, Kai (2009), "Invariantes de tipo Donaldson-Thomas mediante geometría microlocal", Annals of Mathematics , 2nd Ser., 170 (3): 1307-1338, arXiv : math / 0507523 , doi : 10.4007 / annals.2009.170.1307 , MR 2600874
- Ciocan-Fontanine, Ionuț; Kapranov, Mikhail (2009). "Clases fundamentales virtuales vía dg-manifolds". Geometría y topología . 13 (3): 1779–1804. arXiv : matemáticas / 0703214 . doi : 10.2140 / gt.2009.13.1779 . Señor 2496057 .
- Fantechi, Barbara, Retrocesos virtuales en pilas algebraicas (PDF)
- Kresch, Andrew (1999), "Cycle groups for Artin stacks", Inventiones Mathematicae , 138 (3): 495–536, arXiv : math / 9810166 , Bibcode : 1999InMat.138..495K , doi : 10.1007 / s002220050351
- Totaro, Burt (1999), "El anillo de Chow de un espacio clasificador, teoría K algebraica", Proc. Simpos. Pure Math , 67 , American Mathematical Society, págs. 249-281, MR 1743244 , Zbl 0967.14005
- Vistoli, Angelo (1989), "Teoría de la intersección en pilas algebraicas y en sus espacios de módulo", Inventiones Mathematicae , 97 (3): 613–670, Bibcode : 1989InMat..97..613V , doi : 10.1007 / BF01388892 , MR 1005008
- Nabijou, Navid (2015), Virtual Fundamental Classes in Gromov Witten Theory (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 2017-05-16 , consultado el 2017-07-20
- Shen, Junliang (2014), Construcción de la clase y aplicaciones fundamentales virtuales (PDF)
enlaces externos
- El número clásico 2875 de líneas en la quíntica, como invariante DT
- ¿Cuál es la falla principal al usar el grupo Naive Chow en Artin Stack?
- Modelo local de ciclo fundamental virtual
- https://ncatlab.org/nlab/show/virtual+fundamental+class
- Sobre la clase virtual fundamental : una diapositiva de Kai Behrend