Función continua

En matemáticas , una función continua es una función que no tiene cambios bruscos de valor , conocidos como discontinuidades . Más precisamente, una función es continua si se pueden asegurar cambios arbitrariamente pequeños en su salida restringiendo a cambios suficientemente pequeños en su entrada. Si no es continua, se dice que una función es discontinua . Hasta el siglo XIX, los matemáticos se basaron en gran medida en nociones intuitivas de continuidad, durante las cuales se hicieron intentos como la definición épsilon-delta para formalizarla.

La continuidad de las funciones es uno de los conceptos centrales de la topología , que se trata en su totalidad a continuación. La parte introductoria de este artículo se centra en el caso especial en el que las entradas y salidas de funciones son números reales . Una forma más fuerte de continuidad es la continuidad uniforme . Además, este artículo analiza la definición para el caso más general de funciones entre dos espacios métricos . En la teoría del orden , especialmente en la teoría del dominio , se considera una noción de continuidad conocida como continuidad de Scott . Existen otras formas de continuidad, pero no se tratan en este artículo.

Como ejemplo, la función H ( t ) que denota la altura de una flor en crecimiento en el tiempo t se consideraría continua. Por el contrario, la función M ( t ) que denota la cantidad de dinero en una cuenta bancaria en el momento t se consideraría discontinua, ya que "salta" en cada momento en el que se deposita o retira dinero.

Una forma de la definición épsilon-delta de continuidad fue dada por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Augustin-Louis Cauchy definió la continuidad de de la siguiente manera: un incremento infinitamente pequeño de la variable independiente x siempre produce un cambio infinitamente pequeño de la variable dependiente y ( véase, por ejemplo, Cours d'Analyse , p. 34). Cauchy definió cantidades infinitamente pequeñas en términos de cantidades variables, y su definición de continuidad se asemeja mucho a la definición infinitesimal utilizada hoy (ver microcontinuidad ). La definición formal y la distinción entre continuidad puntual y continuidad uniforme${\ Displaystyle y = f (x)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$fueron entregadas por primera vez por Bolzano en la década de 1830, pero el trabajo no se publicó hasta la década de 1930. Como Bolzano, ^[1] Karl Weierstrass ^[2] negó la continuidad de una función en un punto c a menos que estuviera definida en y en ambos lados de c , pero Édouard Goursat ^[3] permitió que la función se definiera solo en y en un lado de c , y Camille Jordan ^{[4] lo} permitió incluso si la función se definió solo en c . Las tres definiciones no equivalentes de continuidad puntual todavía están en uso. ^[5] Eduard Heineproporcionó la primera definición publicada de continuidad uniforme en 1872, pero basó estas ideas en conferencias dadas por Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1854. ^[6]

Una función real , es decir, una función de números reales a números reales, se puede representar mediante una gráfica en el plano cartesiano ; tal función es continua si, en términos generales, el gráfico es una única curva ininterrumpida cuyo dominio es la línea real completa. A continuación se ofrece una definición más rigurosa matemáticamente. ^[7]

La función es continua en el dominio , pero no es continua en el dominio porque no está definida en${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x=0}$

La secuencia converge a exp (0)${\displaystyle \exp(1/n)}$

Ilustración de la -definición: porque el valor satisface la condición de la definición.${\displaystyle \varepsilon -\delta }$${\displaystyle \varepsilon =0.5,c=2,}$${\displaystyle \delta =0.5}$

La falla de una función para ser continua en un punto se cuantifica por su oscilación .

La gráfica de una función cúbica no tiene saltos ni huecos. La función es continua.

La gráfica de una función racional continua . La función no está definida para Las líneas verticales y horizontales son asíntotas .${\displaystyle x=-2.}$

Las funciones sinc y cos

Gráfico de la función signum. Demuestra eso . Por tanto, la función signum es discontinua en 0 (ver sección 2.1.3 ).${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {sgn} \left({\tfrac {1}{n}}\right)\neq \operatorname {sgn} \left(\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}\right)}$

Gráfico de puntos de la función de Thomae en el intervalo (0,1). El punto más alto en el medio muestra f (1/2) = 1/2.

Secuencia de funciones continuas cuya función límite (puntual) es discontinua. La convergencia no es uniforme.${\displaystyle f_{n}(x)}$${\displaystyle f(x)}$

Para una función continua de Lipschitz, hay un cono doble (mostrado en blanco) cuyo vértice se puede trasladar a lo largo del gráfico, de modo que el gráfico siempre permanece completamente fuera del cono.

Continuidad en un punto: para cada vecindario V de , hay un vecindario U de x tal que${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle f(U)\subseteq V}$