Anillo de funciones simétricas

En álgebra y en particular en combinatoria algebraica , el anillo de funciones simétricas es un límite específico de los anillos de polinomios simétricos en n indeterminados, cuando n va al infinito. Este anillo sirve como estructura universal en la que las relaciones entre polinomios simétricos se pueden expresar de una manera independiente del número n de indeterminados (pero sus elementos no son polinomios ni funciones). Entre otras cosas, este anillo juega un papel importante en la teoría de la representación del grupo simétrico .

Al anillo de funciones simétricas se le puede dar un coproducto y una forma bilineal convirtiéndolo en un álgebra de Hopf graduada autoadjunta positiva que es tanto conmutativa como coconmutativa.

Polinomios simétricos

El estudio de las funciones simétricas se basa en el de los polinomios simétricos. En un anillo polinomial en algún conjunto finito de indeterminados, un polinomio se llama simétrico si permanece igual siempre que los indeterminados se permutan de alguna manera. Más formalmente, existe una acción por automorfismos de anillo del grupo simétrico S _n sobre el anillo polinomial en n indeterminados, donde una permutación actúa sobre un polinomio sustituyendo simultáneamente cada uno de los indeterminados por otro según la permutación utilizada. Los invariantes para esta acción forman el subanillo de polinomios simétricos. Si los indeterminados son X₁ , ..., X _n , entonces ejemplos de tales polinomios simétricos son

${\displaystyle X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n},\,}$

${\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+\cdots +X_{n}^{3},\,}$

y

${\displaystyle X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.\,}$

Un ejemplo algo más complicado es X ₁ ³ X ₂ X ₃ + X ₁ X ₂ ³ X ₃ + X ₁ X ₂ X ₃ ³ + X ₁ ³ X ₂ X ₄ + X ₁ X ₂ ³ X ₄ + X ₁ X ₂ X ₄ ³+ ... donde la suma pasa a incluir todos los productos de la tercera potencia de alguna variable y otras dos variables. Hay muchos tipos específicos de polinomios simétricos, tales como polinomios simétricos elementales , suma de potencia polinomios simétricos , polinomios simétricos monomios , polinomios simétricos homogéneos completos , y los polinomios de Schur .

El anillo de funciones simétricas

La mayoría de las relaciones entre polinomios simétricos no dependen del número n de indeterminados, aparte de que algunos polinomios en la relación pueden requerir que n sea ​​lo suficientemente grande para poder definirse. Por ejemplo, la identidad de Newton para el tercer polinomio de suma de potencias p ₃ conduce a

${\displaystyle p_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})=e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})^{3}-3e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})+3e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),}$

donde el ${\displaystyle e_{i}}$denotar polinomios simétricos elementales; esta fórmula es válida para todos los números naturales n , y la única dependencia notable de ella es que e _k ( X ₁ , ..., X _n ) = 0 siempre que n  <  k . A uno le gustaría escribir esto como una identidad.

${\displaystyle p_{3}=e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3}}$

que no depende en absoluto de n , y esto se puede hacer en el anillo de funciones simétricas. En ese anillo hay elementos e _k para todos los enteros k  ≥ 1, y cualquier elemento del anillo puede estar dado por una expresión polinomial en los elementos e _k .

Definiciones

Se puede definir un anillo de funciones simétricas sobre cualquier anillo conmutativo R , y se denominará Λ _R ; el caso básico es para R  =  Z . El anillo Λ _R es de hecho una graduada R - álgebra . Hay dos construcciones principales para ello; el primero que se da a continuación se puede encontrar en (Stanley, 1999), y el segundo es esencialmente el que se da en (Macdonald, 1979).

Como un anillo de serie formal de poder

La construcción más fácil (aunque algo pesada) comienza con el anillo de la serie formal de poder. ${\displaystyle R[[X_{1},X_{2},...]]}$sobre R en infinitamente (contablemente) muchos indeterminados; los elementos de este anillo de series de potencias son sumas formales infinitas de términos, cada uno de los cuales consiste en un coeficiente de R multiplicado por un monomio, donde cada monomio es un producto de un número finito de potencias finitas de indeterminados. Se define Λ _R como su subanillo que consiste en aquellas series de potencias S que satisfacen

1. S es invariante bajo cualquier permutación de los indeterminados, y
2. los grados de los monomios que se encuentran en S están limitados.

Tenga en cuenta que debido a la segunda condición, las series de potencias se utilizan aquí solo para permitir un número infinito de términos de un grado fijo, en lugar de sumar términos de todos los grados posibles. Permitir esto es necesario porque un elemento que contiene, por ejemplo, un término X ₁ también debe contener un término X _i para cada i  > 1 para ser simétrico. A diferencia de todo el anillo de la serie de potencias, el subanillo Λ _R se clasifica por el grado total de monomios: debido a la condición 2, cada elemento de Λ _R es una suma finita de elementos homogéneos de Λ _R (que son en sí mismos sumas infinitas de términos de igual grado). Para cada k  ≥ 0, el elementoe _k  ∈ Λ _R se define como la suma formal de todos los productos de k indeterminados distintos, lo cual es claramente homogéneo de grado k .

Como límite algebraico

Otra construcción de Λ _R tarda algo más en describirse, pero indica mejor la relación con los anillos R [ X ₁ , ..., X _n ] ^{S _n} de polinomios simétricos en n indeterminados. Para cada n hay un homomorfismo de anillo sobreyectivo ρ _n del anillo análogo R [ X ₁ , ..., X _{n +1} ] ^{S _{n +1}} con uno más indeterminado en R [ X ₁ , ..., X_n ] ^{S _n} , definido estableciendo el último indeterminado X _{n +1} en 0. Aunque ρ _n tiene un kernel no trivial, los elementos distintos de cero de ese kernel tienen al menos un grado${\displaystyle n+1}$(son múltiplos de X ₁ X ₂ ... X _{n +1} ). Esto significa que la restricción de ρ _n a elementos de grado como máximo n es un mapa lineal biyectivo, y ρ _n ( e _k ( X ₁ , ..., X _{n +1} )) =  e _k ( X ₁ , .. ., X _n ) para todo k  ≤  n . La inversa de esta restricción puede extenderse únicamente a un homomorfismo de anillo φ _n de R [ X₁ , ..., X _n ] ^{S _n} a R [ X ₁ , ..., X _{n +1} ] ^{S _{n +1}} , como se deduce, por ejemplo, del teorema fundamental de polinomios simétricos . Dado que las imágenes φ _n ( e _k ( X ₁ , ..., X _n )) =  e _k ( X ₁ , ..., X _{n +1} ) para k  = 1, ..., n siguen siendo algebraicamente independientessobre  R , el homomorfismo φ _n es inyectivo y puede verse como una inclusión (algo inusual) de anillos; aplicar φ _n a un polinomio equivale a sumar todos los monomios que contienen el nuevo indeterminado obtenido por simetría de los monomios ya presentes. El anillo Λ _R es entonces la "unión" ( límite directo ) de todos estos anillos sujetos a estas inclusiones. Dado que todos φ _n son compatibles con la clasificación por grado total de los anillos involucrados, Λ _R obtiene la estructura de un anillo graduado.

Esta construcción difiere ligeramente de la de (Macdonald, 1979). Esa construcción solo usa los morfismos sobreyectivos ρ _n sin mencionar los morfismos inyectivos φ _n : construye los componentes homogéneos de Λ _{R por} separado, y equipa su suma directa con una estructura de anillo usando el ρ _n . También se observa que el resultado puede describirse como un límite inverso en la categoría de anillos graduados . Esa descripción sin embargo un tanto oculta una importante propiedad típica para una directalímite de morfismos inyectivos, es decir, que cada elemento individual (función simétrica) ya está fielmente representado en algún objeto utilizado en la construcción límite, aquí un anillo R [ X ₁ , ..., X _d ] ^{S _d} . Basta tomar para d el grado de la función simétrica, ya que la parte en el grado d de ese anillo está mapeada isomórficamente a anillos con más indeterminados por φ _n para todo n  ≥  d . Esto implica que para estudiar las relaciones entre elementos individuales, no existe una diferencia fundamental entre polinomios simétricos y funciones simétricas.

Definición de funciones simétricas individuales

El nombre "función simétrica" ​​para los elementos de Λ _R es un nombre inapropiado : en ninguna construcción los elementos son funciones y, de hecho, a diferencia de los polinomios simétricos, ninguna función de variables independientes puede asociarse a tales elementos (por ejemplo, e ₁ sería el suma de todas las infinitas variables, que no se define a menos que se impongan restricciones a las variables). Sin embargo, el nombre es tradicional y está bien establecido; se puede encontrar tanto en (Macdonald, 1979), que dice (nota al pie de la p. 12)

Los elementos de Λ (a diferencia de los de Λ _n ) ya no son polinomios: son sumas formales infinitas de monomios. Por tanto, hemos vuelto a la antigua terminología de funciones simétricas.

(aquí Λ _n denota el anillo de polinomios simétricos en n indeterminados), y también en (Stanley, 1999).

Para definir una función simétrica uno debe indicar directamente una serie de potencias como en la primera construcción, o dar un polinomio simétrico en n indeterminados para cada número natural n de una manera compatible con la segunda construcción. Una expresión en un número no especificado de indeterminados puede hacer ambas cosas, por ejemplo

${\displaystyle e_{2}=\sum _{i<j}X_{i}X_{j}\,}$

puede tomarse como la definición de una función simétrica elemental si el número de indeterminados es infinito, o como la definición de un polinomio simétrico elemental en cualquier número finito de indeterminados. Los polinomios simétricos para la misma función simétrica deben ser compatibles con los morfismos ρ _n (la disminución del número de indeterminados se obtiene poniendo algunos de ellos a cero, de modo que los coeficientes de cualquier monomio en los indeterminados restantes no cambien), y su grado debe permanecer delimitado. (Un ejemplo de una familia de polinomios simétricos que falla en ambas condiciones es${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$; la familia${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{n}(X_{i}+1)}$falla solo la segunda condición.) Cualquier polinomio simétrico en n indeterminados puede usarse para construir una familia compatible de polinomios simétricos, usando los morfismos ρ _i para i  <  n para disminuir el número de indeterminados, y φ _i para i  ≥  n para aumentar el número de indeterminados (que equivale a sumar todos los monomios en nuevos indeterminados obtenidos por simetría de monomios ya presentes).

Los siguientes son ejemplos fundamentales de funciones simétricas.

• Las funciones simétricas monomiales m _α . Suponga que α = (α ₁ , α ₂ , ...) es una secuencia de números enteros no negativos, de los cuales solo un número finito es distinto de cero. Entonces podemos considerar el monomio definido por α: X ^α = X ₁ ^{α ₁} X ₂ ^{α ₂} X ₃ ^{α ₃} .... Entonces m _α es la función simétrica determinada por X ^α , es decir, la suma de todos los monomios obtenidos de X ^αpor simetría. Para una definición formal, defina β ~ α para significar que la secuencia β es una permutación de la secuencia α y establezca

${\displaystyle m_{\alpha }=\sum \nolimits _{\beta \sim \alpha }X^{\beta }.}$

Esta función simétrica corresponde al polinomio simétrico monomio m _α ( X ₁ , ..., X _n ) para cualquier n lo suficientemente grande como para tener el monomio X ^α . Las distintas funciones simétricas monomiales están parametrizadas por las particiones enteras (cada m _α tiene un monomio representativo único X ^λ con las partes λ _i en orden débilmente decreciente). Dado que cualquier función simétrica que contenga cualquiera de los monomios de algunos m _αdebe contener todos ellos con el mismo coeficiente, cada función simétrica se puede escribir como una combinación lineal R de funciones simétricas monomiales, y las funciones simétricas monomiales distintas forman, por lo tanto, una base de Λ _R como R - módulo .

• Las funciones simétricas elementales e _k , para cualquier número natural k ; uno tiene e _k  =  m _α donde${\displaystyle \textstyle X^{\alpha }=\prod _{i=1}^{k}X_{i}}$. Como serie de potencias, esta es la suma de todos los productos distintos de k indeterminados distintos. Esta función simétrica corresponde al polinomio simétrico elemental e _k ( X ₁ , ..., X _n ) para cualquier n  ≥  k .
• Las funciones simétricas de suma de potencias p _k , para cualquier entero positivo k ; uno tiene p _k  =  m _{( k )} , la función simétrica monomial para el monomio X ₁ ^k . Esta función simétrica corresponde al polinomio simétrico de suma de potencia p _k ( X ₁ , ..., X _n ) =  X ₁ ^k + ... + X _n ^k para cualquier n  ≥ 1.
• Las funciones simétricas homogéneas completas h _k , para cualquier número natural k ; h _k es la suma de todas las funciones simétricas monomiales m _α donde α es una partición de  k . Como serie de potencias, esta es la suma de todos los monomios de grado k , que es lo que motiva su nombre. Esta función simétrica corresponde al polinomio simétrico homogéneo completo h _k ( X ₁ , ..., X _n ) para cualquier n  ≥  k .
• Las funciones de Schur s _λ para cualquier partición λ, que corresponde al polinomio de Schur s _λ ( X ₁ , ..., X _n ) para cualquier n lo suficientemente grande como para tener el monomio X ^λ .

No existe una función simétrica de suma de potencia p ₀ : aunque es posible (y en algunos contextos natural) definir${\displaystyle \textstyle p_{0}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{0}=n}$como polinomio simétrico en n variables, estos valores no son compatibles con los morfismos ρ _n . El "discriminante"${\displaystyle \textstyle (\prod _{i<j}(X_{i}-X_{j}))^{2}}$es otro ejemplo de una expresión que da un polinomio simétrico para todo n , pero que no define ninguna función simétrica. Las expresiones que definen los polinomios de Schur como un cociente de polinomios alternos son algo similares a las del discriminante, pero los polinomios s _λ ( X ₁ , ..., X _n ) resultan ser compatibles para variar n , y por lo tanto definen un función simétrica.

Un principio que relaciona polinomios simétricos y funciones simétricas

Para cualquier función simétrica P , los polinomios simétricos correspondientes en n indeterminados para cualquier número natural n pueden ser designados por P ( X ₁ , ..., X _n ). La segunda definición del anillo de funciones simétricas implica el siguiente principio fundamental:

Si P y Q son funciones simétricas de grado d , entonces uno tiene la identidad${\displaystyle P=Q}$de funciones simétricas si y solo una tiene la identidad P ( X ₁ , ..., X _d ) =  Q ( X ₁ , ..., X _d ) de polinomios simétricos en d indeterminados. En este caso, uno tiene de hecho P ( X ₁ , ..., X _n ) =  Q ( X ₁ , ..., X _n ) para cualquier número n de indeterminados.

Esto se debe a que siempre se puede reducir el número de variables sustituyendo cero por algunas variables, y se puede aumentar el número de variables aplicando los homomorfismos φ _n ; la definición de esos homomorfismos asegura que φ _n ( P ( X ₁ , ..., X _n )) =  P ( X ₁ , ..., X _{n +1} ) (y de manera similar para Q ) siempre que n  ≥  d . Vea una prueba de las identidades de Newton para una aplicación efectiva de este principio.

Propiedades del anillo de funciones simétricas

Identidades

El anillo de funciones simétricas es una herramienta conveniente para escribir identidades entre polinomios simétricos que son independientes del número de indeterminados: en Λ _R no existe tal número, sin embargo, según el principio anterior, cualquier identidad en Λ _R otorga automáticamente a las identidades los anillos de simétricos. polinomios sobre R en cualquier número de indeterminados. Algunas identidades fundamentales son

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}h_{k-i}=0=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}h_{i}e_{k-i}\quad {\mbox{for all }}k>0,}$

que muestra una simetría entre funciones simétricas homogéneas elementales y completas; estas relaciones se explican bajo polinomio simétrico homogéneo completo .

${\displaystyle ke_{k}=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}p_{i}e_{k-i}\quad {\mbox{for all }}k\geq 0,}$

las identidades de Newton , que también tienen una variante para funciones simétricas homogéneas completas:

${\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}p_{i}h_{k-i}\quad {\mbox{for all }}k\geq 0.}$

Propiedades estructurales de Λ _R

Las propiedades importantes de Λ _R incluyen las siguientes.

1. El conjunto de funciones simétricas monomios parametrizada por particiones forman una base de Λ _R como graduada R - módulo , los parametrizada por particiones de d siendo homogénea de grado d ; lo mismo es cierto para el conjunto de funciones de Schur (también parametrizadas por particiones).
2. Λ _R es isomorfo como un R- álgebra graduada a un anillo polinomial R [ Y ₁ , Y ₂ , ...] en un número infinito de variables, donde Y _i tiene un grado  i para todo i  > 0, siendo un isomorfismo el que envía Y _i a e _i  ∈ Λ _R para cada  i .
3. Existe un automorfismo involutivo ω de Λ _R que intercambia las funciones simétricas elementales e _i y la función simétrica homogénea completa h _i para todo i . También envía cada función simétrica de suma de potencia p _i a (−1) ^{i −1} p _i , y permuta las funciones de Schur entre sí, intercambiando s _λ y s _{λ ^t} donde λ ^t es la partición de transposición de λ. 

La propiedad 2 es la esencia del teorema fundamental de los polinomios simétricos . Inmediatamente implica algunas otras propiedades:

• El subanillo de Λ _R generado por sus elementos de grado como máximo n es isomorfo al anillo de polinomios simétricos sobre R en n variables;
• La serie de Hilbert-Poincaré de Λ _R es${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-t^{i}}}}$, la función generadora de las particiones enteras (esto también se deriva de la propiedad 1);
• Para cada n  > 0, el módulo R formado por la parte homogénea de Λ _R de grado n , módulo su intersección con el subanillo generado por sus elementos de grado estrictamente menor que n , está libre de rango 1, y (la imagen de ) e _n es un generador de este módulo R ;
• Para cada familia de funciones simétricas ( f _i ) _{i > 0} en la que f _i es homogénea de grado  i y da un generador del módulo R libre del punto anterior (para todo i ), existe un isomorfismo alternativo de R graduado -álgebras de R [ Y ₁ , Y ₂ , ...] como anteriormente para Λ _R que envía Y _i a f _i ; en otras palabras, la familia ( f _i ) _{i > 0}forma un conjunto de generadores polinómicos libres de Λ _R .

Este último punto se aplica en particular a la familia ( h _i ) _{i > 0} de funciones simétricas homogéneas completas. Si R contiene el campo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$de números racionales , se aplica también a la familia ( p _i ) _{i > 0} de funciones simétricas de suma de potencias. Esto explica por qué los primeros n elementos de cada una de estas familias definen conjuntos de polinomios simétricos en n variables que son generadores de polinomios libres de ese anillo de polinomios simétricos.

El hecho de que las funciones simétricas homogéneas completas formen un conjunto de generadores polinomiales libres de Λ _R ya muestra la existencia de un automorfismo ω enviando las funciones simétricas elementales a las homogéneas completas, como se menciona en la propiedad 3. El hecho de que ω sea una involución de Λ _{R se} sigue de la simetría entre funciones simétricas homogéneas elementales y completas expresadas por el primer conjunto de relaciones dadas anteriormente.

El anillo de funciones simétricas Λ _Z es el anillo Exp de los enteros Z . También es un anillo lambda de forma natural; de hecho, es el anillo lambda universal en un generador.

Generando funciones

La primera definición de Λ _R como un subanillo de${\displaystyle R[[X_{1},X_{2},...]]}$permite que las funciones generadoras de varias secuencias de funciones simétricas se expresen elegantemente. Al contrario de las relaciones mencionadas anteriormente, que son internas a Λ _R , estas expresiones involucran operaciones que tienen lugar en R [[ X ₁ , X ₂ , ...; t ]] pero fuera de su subanillo Λ _R [[ t ]], por lo que son significativas solo si las funciones simétricas se ven como series de potencias formales en los indeterminados X _i . Escribiremos "( X )" después de las funciones simétricas para enfatizar esta interpretación.

La función generadora de las funciones simétricas elementales es

${\displaystyle E(t)=\sum _{k\geq 0}e_{k}(X)t^{k}=\prod _{i=1}^{\infty }(1+X_{i}t).}$

De manera similar, se tiene para funciones simétricas homogéneas completas

${\displaystyle H(t)=\sum _{k\geq 0}h_{k}(X)t^{k}=\prod _{i=1}^{\infty }\left(\sum _{k\geq 0}(X_{i}t)^{k}\right)=\prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-X_{i}t}}.}$

El hecho obvio de que ${\displaystyle E(-t)H(t)=1=E(t)H(-t)}$explica la simetría entre funciones simétricas homogéneas elementales y completas. La función generadora para las funciones simétricas de suma de potencias se puede expresar como

${\displaystyle P(t)=\sum _{k>0}p_{k}(X)t^{k}=\sum _{k>0}\sum _{i=1}^{\infty }(X_{i}t)^{k}=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {X_{i}t}{1-X_{i}t}}={\frac {tE'(-t)}{E(-t)}}={\frac {tH'(t)}{H(t)}}}$

((Macdonald, 1979) define P ( t ) como Σ _{k > 0}  p _k ( X ) t ^{k −1} , por lo que sus expresiones carecen de un factor t con respecto a los dados aquí). Las dos expresiones finales, que involucran las derivadas formales de las funciones generadoras E ( t ) y H ( t ), implican las identidades de Newton y sus variantes para las funciones simétricas homogéneas completas. Estas expresiones a veces se escriben como

${\displaystyle P(t)=-t{\frac {d}{dt}}\log(E(-t))=t{\frac {d}{dt}}\log(H(t)),}$

que equivale a lo mismo, pero requiere que R contenga los números racionales, de modo que el logaritmo de la serie de potencias con término constante 1 se define (por${\displaystyle \textstyle \log(1-tS)=-\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}(tS)^{i}}$).

Ver también

• Identidades de Newton
• Función cuasimétrica

Referencias

• Macdonald, IG Funciones simétricas y polinomios de Hall. Monografías matemáticas de Oxford. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii + 180 págs. ISBN  0-19-853530-9 MR 553598
• Macdonald, IG Funciones simétricas y polinomios de Hall. Segunda edicion. Monografías matemáticas de Oxford. Publicaciones científicas de Oxford. The Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York, 1995. x + 475 págs.  ISBN 0-19-853489-2 MR 1354144 
• Stanley, Richard P. Combinatoria enumerativa , vol. 2, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-56069-1 (tapa dura) ISBN 0-521-78987-7 ( tapa blanda ).