La teoría de la plasticidad de las rocas se ocupa de la respuesta de las rocas a cargas más allá del límite elástico . Históricamente, la sabiduría convencional dice que la roca es frágil y falla por fractura, mientras que la plasticidad se identifica con materiales dúctiles . En macizos rocosos a escala de campo, existen discontinuidades estructurales en la roca que indican que se ha producido una falla. Dado que la roca no se ha desmoronado, contrariamente a las expectativas de comportamiento frágil, es evidente que la teoría de la elasticidad no es el último trabajo. [1]
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Teóricamente, el concepto de plasticidad de la roca se basa en la plasticidad del suelo, que es diferente de la plasticidad del metal. En la plasticidad de los metales, por ejemplo en el acero, el tamaño de una dislocación es el tamaño subgranular, mientras que en el suelo es el movimiento relativo de los granos microscópicos. La teoría de la plasticidad del suelo se desarrolló en la década de 1960 en la Universidad de Rice para proporcionar efectos inelásticos no observados en los metales. Los comportamientos típicos observados en las rocas incluyen ablandamiento por deformación , plasticidad perfecta y endurecimiento por trabajo .
La aplicación de la teoría del continuo es posible en rocas articuladas debido a que la continuidad de las tracciones a través de las articulaciones incluso cuando los desplazamientos pueden ser discontinuos. La diferencia entre un agregado con articulaciones y un sólido continuo está en el tipo de ley constitutiva y los valores de los parámetros constitutivos.
Evidencia experimental
Los experimentos generalmente se llevan a cabo con la intención de caracterizar el comportamiento mecánico de la roca en términos de resistencia de la roca . La fuerza es el límite del comportamiento elástico y delimita las regiones donde la teoría de la plasticidad es aplicable. Las pruebas de laboratorio para caracterizar la plasticidad de las rocas se dividen en cuatro categorías superpuestas: pruebas de presión de confinamiento, pruebas de presión de poro o de esfuerzo efectivo, pruebas dependientes de la temperatura y pruebas dependientes de la velocidad de deformación . El comportamiento plástico se ha observado en rocas utilizando todas estas técnicas desde principios del siglo XX. [2]
Los experimentos de Boudinage [3] muestran que se observa plasticidad localizada en ciertos especímenes de rocas que han fallado en el cizallamiento. Otros ejemplos de rocas que muestran plasticidad se pueden ver en el trabajo de Cheatham y Gnirk. [4] Las pruebas que utilizan compresión y tensión muestran el estrechamiento de las muestras de roca, mientras que las pruebas que utilizan la penetración de cuñas muestran la formación de labios. Las pruebas realizadas por Robertson [5] muestran que la plasticidad se produce a presiones de confinamiento elevadas. Se pueden observar resultados similares en el trabajo experimental realizado por Handin y Hager, [6] Paterson, [7] y Mogi. [8] A partir de estos resultados, parece que la transición del comportamiento elástico al plástico también puede indicar la transición del ablandamiento al endurecimiento. Robinson [9] y Schwartz presentan más pruebas . [10] Se observa que cuanto mayor es la presión de confinamiento, mayor es la ductilidad observada. Sin embargo, la tensión para romperse permanece aproximadamente igual en alrededor de 1.
El efecto de la temperatura sobre la plasticidad de las rocas ha sido explorado por varios equipos de investigadores. [11] Se observa que la tensión máxima disminuye con la temperatura. Las pruebas de extensión (con una presión de confinamiento mayor que la tensión de compresión) muestran que la tensión principal intermedia y la tasa de deformación tienen un efecto sobre la resistencia. Los experimentos sobre el efecto de la velocidad de deformación de Serdengecti y Boozer [12] muestran que aumentar la velocidad de deformación hace que la roca sea más fuerte pero también la hace parecer más frágil. Por lo tanto, la carga dinámica puede hacer que la resistencia de la roca aumente sustancialmente. El aumento de temperatura parece incrementar el efecto de velocidad en el comportamiento plástico de las rocas.
Después de estas primeras exploraciones en el comportamiento plástico de las rocas, se ha llevado a cabo una importante cantidad de investigaciones sobre el tema, principalmente por parte de la industria del petróleo. De la evidencia acumulada, está claro que la roca exhibe una plasticidad notable bajo ciertas condiciones y la aplicación de una teoría de la plasticidad a la roca es apropiada.
Ecuaciones gubernamentales
Las ecuaciones que gobiernan la deformación de las rocas articuladas son las mismas que se usan para describir el movimiento de un continuo : [13]
dónde es la densidad de masa ,es la derivada del tiempo material de, es la velocidad de la partícula ,es el desplazamiento de partículas , es la derivada del tiempo material de , es el tensor de tensión de Cauchy ,es la densidad de fuerza del cuerpo ,es la energía interna por unidad de masa, es la derivada del tiempo material de , es el vector de flujo de calor , es una fuente de energía por unidad de masa, es la ubicación del punto en la configuración deformada y t es el tiempo.
Además de las ecuaciones de balance, condiciones iniciales , condiciones de contorno , y modelos constitutivos son necesarios para un problema a ser bien planteado . Para los cuerpos con discontinuidades internas, como la roca articulada, el equilibrio del momento lineal se expresa más convenientemente en la forma integral, también llamada principio de trabajo virtual :
dónde representa el volumen del cuerpo y es su superficie (incluidas las discontinuidades internas), es una variación admisible que satisface las condiciones de contorno de desplazamiento (o velocidad), el teorema de divergencia se ha utilizado para eliminar las derivadas del tensor de tensión, yson tracciones superficiales en las superficies. Las condiciones de salto a través de discontinuidades de tensión interna estacionaria requieren que las tracciones a través de estas superficies sean continuas, es decir,
dónde son las tensiones en los subcuerpos , y es la normal a la superficie de la discontinuidad.
Relaciones constitutivas
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Para deformaciones pequeñas , la cantidad cinemática que se utiliza para describir la mecánica de rocas es el tensor de deformaciones pequeñasSi se ignoran los efectos de la temperatura, normalmente se utilizan cuatro tipos de relaciones constitutivas para describir pequeñas deformaciones por deformación de las rocas. Estas relaciones abarcan el comportamiento elástico , plástico , viscoelástico y viscoplástico y tienen las siguientes formas:
- Material elástico : o . Para un material elástico lineal isotrópico, esta relación toma la forma o . Las cantidadesson los parámetros de Lamé .
- Fluido viscoso : para materiales isotrópicos, o dónde es la viscosidad de cizallamiento yes la viscosidad a granel .
- Material no lineal : las relaciones de material no lineales isotrópicas toman la forma o . Este tipo de relación se usa típicamente para ajustar datos experimentales y puede incluir un comportamiento inelástico.
- Materiales cuasi-lineales : las relaciones constitutivas para estos materiales se expresan típicamente en forma de tasa , por ejemplo, o .
Un criterio de falla o superficie de fluencia para la roca puede entonces expresarse en la forma general
Las relaciones constitutivas típicas de las rocas suponen que el proceso de deformación es isotérmico, que el material es isotrópico, cuasi-lineal y homogéneo y que las propiedades del material no dependen de la posición al inicio del proceso de deformación, que no hay ningún efecto viscoso y por lo tanto no intrínseco escala de tiempo, que el criterio de falla es independiente de la tasa y que no hay efecto de tamaño . Sin embargo, estos supuestos se hacen solo para simplificar el análisis y deben abandonarse si es necesario para un problema en particular.
Superficies de rendimiento para rocas
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El diseño de estructuras mineras y civiles en roca generalmente implica un criterio de falla que es cohesivo-friccional. El criterio de falla se utiliza para determinar si un estado de tensión en la roca conducirá a un comportamiento inelástico, incluida la falla frágil . Para rocas sometidas a elevadas tensiones hidrostáticas , la rotura por fragilidad está precedida por una deformación plástica y el criterio de rotura se utiliza para determinar el inicio de la deformación plástica. Por lo general, se asume una plasticidad perfecta más allá del límite elástico . Sin embargo, también se han utilizado relaciones de endurecimiento y ablandamiento por tensión con inelasticidad y daño no local . Los criterios de falla y las superficies de fluencia a menudo también se aumentan con una tapa para evitar situaciones no físicas en las que los estados de tensión hidrostática extrema no conducen a fallas o deformaciones plásticas.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/en/thumb/2/26/Drucker_Prager_Yield_Surface_3Da.png/300px-Drucker_Prager_Yield_Surface_3Da.png)
Dos superficies de rendimiento / criterios de falla ampliamente utilizados para rocas son el modelo de Mohr-Coulomb y el modelo de Drucker-Prager . El criterio de fallo Hoek-Brown también se utiliza, no obstante el problema de la consistencia grave con el modelo. La característica definitoria de estos modelos es que la falla por tracción se predice a tensiones bajas. Por otro lado, a medida que el estado de tensión se vuelve cada vez más compresivo, la falla y el rendimiento requieren valores de tensión cada vez más altos.
Teoría de la plasticidad
Las ecuaciones que gobiernan, los modelos constitutivos y las superficies de fluencia discutidas anteriormente no son suficientes si vamos a calcular las tensiones y los desplazamientos en un cuerpo de roca que está sufriendo una deformación plástica. Se necesita una suposición cinemática adicional, es decir, que la tensión en el cuerpo se puede descomponer de forma aditiva (o multiplicativa en algunos casos) en una parte elástica y una parte plástica. La parte elástica de la deformación se puede calcular a partir de un modelo constitutivo elástico lineal. Sin embargo, la determinación de la parte plástica de la deformación requiere una regla de flujo y un modelo de endurecimiento .
Las teorías típicas de plasticidad de flujo (para pequeñas deformaciones, plasticidad perfecta o plasticidad de endurecimiento) se desarrollan sobre la base de los siguientes requisitos:
- La roca tiene un rango elástico lineal.
- La roca tiene un límite elástico definido como la tensión en la que se produce la deformación plástica por primera vez, es decir, .
- Más allá del límite elástico, el estado de tensión siempre permanece en la superficie de fluencia, es decir, .
- La carga se define como la situación en la que los incrementos de tensión son mayores que cero, es decir, . Si la carga lleva el estado de tensión al dominio plástico, entonces el incremento de la deformación plástica es siempre mayor que cero, es decir,.
- La descarga se define como la situación en la que los incrementos de tensión son menores que cero, es decir, . El material es elástico durante la descarga y no se acumula tensión plástica adicional.
- La deformación total es una combinación lineal de las partes elásticas y plásticas, es decir, . La parte de plástico no se puede recuperar mientras la parte elástica sea completamente recuperable.
- El trabajo realizado de un ciclo de carga-descarga es positivo o nulo, es decir, . Esto también se denomina postulado de estabilidad de Drucker y elimina la posibilidad de un comportamiento de ablandamiento por deformación.
Plasticidad tridimensional
Los requisitos anteriores se pueden expresar en tres dimensiones de la siguiente manera.
- Elasticidad ( ley de Hooke ). En el régimen elástico lineal, las tensiones y deformaciones en la roca están relacionadas por
- donde la matriz de rigidez es constante.
- Límite elástico ( superficie de rendimiento ). El límite elástico está definido por una superficie de fluencia que no depende de la deformación plástica y tiene la forma
- Más allá del límite elástico . Para rocas de endurecimiento por deformación, la superficie de fluencia evoluciona con el aumento de la deformación plástica y el límite elástico cambia. La superficie de rendimiento en evolución tiene la forma
- Cargando . No es sencillo traducir la condición geologíaa tres dimensiones, particularmente para la plasticidad de la roca, que depende no solo de la tensión desviadora sino también de la tensión media . Sin embargo, durante la cargay se supone que la dirección de la deformación plástica es idéntica a la normal a la superficie de fluencia () y eso , es decir,
- La ecuación anterior, cuando es igual a cero, indica un estado de carga neutra donde el estado de tensión se mueve a lo largo de la superficie de fluencia sin cambiar la deformación plástica.
- Descarga : se hace un argumento similar para la descarga para qué situación, el material está en el dominio elástico, y
- Descomposición de la deformación : la descomposición aditiva de la deformación en partes elásticas y plásticas se puede escribir como
- Postulado de estabilidad : El postulado de estabilidad se expresa como
Regla de flujo
En plasticidad metálica, la suposición de que el incremento de la deformación plástica y el tensor de tensión desviador tienen las mismas direcciones principales se encapsula en una relación llamada regla de flujo . Las teorías de la plasticidad de las rocas también utilizan un concepto similar, excepto que el requisito de dependencia de la presión de la superficie de fluencia requiere una relajación del supuesto anterior. En cambio, se asume típicamente que el incremento de deformación plástica y la normal a la superficie de fluencia dependiente de la presión tienen la misma dirección, es decir,
dónde es un parámetro de endurecimiento. Esta forma de la regla de flujo se denomina regla de flujo asociada y el supuesto de codireccionalidad se denomina condición de normalidad . La funcióntambién se llama potencial plástico .
La regla de flujo anterior se justifica fácilmente para deformaciones perfectamente plásticas para las cuales Cuándo , es decir, la superficie de fluencia permanece constante bajo una deformación plástica creciente. Esto implica que el incremento de deformación elástica también es cero,, debido a la ley de Hooke. Por lo tanto,
Por tanto, tanto la normal a la superficie de fluencia como el tensor de deformación plástico son perpendiculares al tensor de tensión y deben tener la misma dirección.
Para un material de endurecimiento por trabajo , la superficie de fluencia puede expandirse al aumentar la tensión. Asumimos el segundo postulado de estabilidad de Drucker que establece que para un ciclo de tensión infinitesimal este trabajo plástico es positivo, es decir,
La cantidad anterior es igual a cero para ciclos puramente elásticos. El examen del trabajo realizado durante un ciclo de carga y descarga de plástico se puede utilizar para justificar la validez de la regla de flujo asociada. [14]
Condición de consistencia
La condición de consistencia de Prager es necesaria para cerrar el conjunto de ecuaciones constitutivas y eliminar el parámetro desconocido.del sistema de ecuaciones. La condición de consistencia establece que en el rendimiento porque , y por lo tanto
Notas
- ^ Pariseau (1988).
- ^ Adams y Coker (1910).
- ^ Rast (1956).
- ^ Cheatham y Gnirk (1966).
- ^ Robertson (1955).
- ^ Handin y Hager (1957, 1958, 1963).
- ^ Paterson (1958).
- ^ Mogi (1966).
- ^ Robinson (1959).
- ^ Schwartz (1964).
- ^ Griggs, Turner, oído (1960)
- ^ Serdengecti y Boozer (1961)
- ^ Los operadores en las ecuaciones gobernantes se definen como:
- ^ Anandarajah (2010).
Referencias
- Pariseau, WG (1988), "Sobre el concepto de plasticidad del macizo rocoso", en el 29º Simposio estadounidense sobre mecánica de rocas (USRMS) , Balkema
- Adams, FD; Coker, EG (1910), "Una investigación experimental sobre el flujo de rocas; el flujo de mármol" , American Journal of Science , 174 (174): 465–487, Bibcode : 1910AmJS ... 29..465A , doi : 10.2475 / ajs.s4-29.174.465
- Rast, Nicholas (1956), "El origen y significado del boudinage", Geol. revista , 93 (5): 401–408, Bibcode : 1956GeoM ... 93..401R , doi : 10.1017 / s001675680006684x
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- Handin, John; Hager Jr., Rex V. (1958), "Deformación experimental de rocas sedimentarias bajo presión de confinamiento: Ensayos a alta temperatura" , Boletín AAPG , 42 (12): 2892–2934, doi : 10.1306 / 0bda5c27-16bd-11d7-8645000102c1865d
- Handin, John; Hager Jr, Rex V .; Friedman, Melvin; Feather, James N. (1963), "Deformación experimental de rocas sedimentarias bajo presión de confinamiento: pruebas de presión de poro" , Boletín AAPG , 47 (5): 717–755, doi : 10.1306 / bc743a87-16be-11d7-8645000102c1865d
- Paterson, MS (1958), "Deformación experimental y fallas en el mármol de Wombeyan", Boletín de la Sociedad Geológica de América , 69 (4): 465–476, Código Bibliográfico : 1958GSAB ... 69..465P , doi : 10.1130 / 0016-7606 (1958) 69 [465: edafiw] 2.0.co; 2
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- Robinson, LH (1959), "El efecto de la presión de poro y confinamiento en el proceso de falla en la roca sedimentaria", en el 3er Simposio de Mecánica de Rocas de EE. UU. (USRMS)
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- Serdengecti, S .; Boozer, GD (1961), "Los efectos de la velocidad de deformación y la temperatura en el comportamiento de las rocas sometidas a compresión triaxial", en Actas del Cuarto Simposio sobre Mecánica de Rocas : 83–97
- Anandarajah, A. (2010), Métodos computacionales en elasticidad y plasticidad: sólidos y medios porosos , Springer
enlaces externos
- Microestructuras y mecanismos de deformación