El cálculo de variaciones es un campo de análisis matemático que utiliza variaciones, que son pequeños cambios en funciones y funcionales , para encontrar máximos y mínimos de funcionales: mapeos de un conjunto de funciones a los números reales . [a] Los funcionales a menudo se expresan como integrales definidas que involucran funciones y sus derivadas . Las funciones que maximizan o minimizan las funciones se pueden encontrar utilizando la ecuación de Euler-Lagrange del cálculo de variaciones.
Un ejemplo simple de tal problema es encontrar la curva de menor longitud que conecta dos puntos. Si no hay restricciones, la solución es una línea recta entre los puntos. Sin embargo, si la curva está restringida a estar sobre una superficie en el espacio, entonces la solución es menos obvia y posiblemente existan muchas soluciones. Estas soluciones se conocen como geodésicas . El principio de Fermat plantea un problema relacionado : la luz sigue el camino de la longitud óptica más corta que conecta dos puntos, donde la longitud óptica depende del material del medio. Un concepto correspondiente en mecánica es el principio de acción mínima / estacionaria .
Muchos problemas importantes involucran funciones de varias variables. Las soluciones de problemas de valores en la frontera para la ecuación de Laplace satisfacen el principio de Dirichlet . El problema de Plateau requiere encontrar una superficie de área mínima que abarque un contorno dado en el espacio: a menudo se puede encontrar una solución sumergiendo un marco en una solución de espuma de jabón. Aunque tales experimentos son relativamente fáciles de realizar, su interpretación matemática está lejos de ser simple: puede haber más de una superficie que minimiza localmente y pueden tener una topología no trivial .
Historia
Se puede decir que el cálculo de variaciones comenzó con el problema de resistencia mínima de Newton en 1687, seguido por el problema de la curva braquistócrona planteado por Johann Bernoulli (1696). [2] Inmediatamente ocupó la atención de Jakob Bernoulli y el Marqués de l'Hôpital , pero Leonhard Euler elaboró el tema por primera vez, a partir de 1733. Lagrange fue influenciado por el trabajo de Euler para contribuir significativamente a la teoría. Después de que Euler vio el trabajo de 1755 de Lagrange, de 19 años, Euler abandonó su propio enfoque parcialmente geométrico a favor del enfoque puramente analítico de Lagrange y renombró el tema como el cálculo de variaciones en su conferencia de 1756 Elementa Calculi Variationum . [3] [4] [1]
Legendre (1786) estableció un método, no del todo satisfactorio, para la discriminación de máximos y mínimos. Isaac Newton y Gottfried Leibniz también prestaron alguna atención temprana al tema. [5] A esta discriminación Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Mikhail Ostrogradsky (1834) y Carl Jacobi (1837) han estado entre los contribuyentes. Un trabajo general importante es el de Sarrus (1842) que fue condensado y mejorado por Cauchy (1844). Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) y Carll (1885) han escrito otros valiosos tratados y memorias , pero quizás la obra más importante del siglo es la de Weierstrass. . Su célebre curso sobre la teoría está haciendo época, y se puede afirmar que fue el primero en colocarlo sobre una base firme e incuestionable. Los problemas 20 y 23 de Hilbert publicados en 1900 alentaron un mayor desarrollo. [5]
En el siglo XX, David Hilbert , Emmy Noether , Leonida Tonelli , Henri Lebesgue y Jacques Hadamard, entre otros, hicieron contribuciones significativas. [5] Marston Morse aplicó el cálculo de variaciones en lo que ahora se llama teoría Morse . [6] Lev Pontryagin , Ralph Rockafellar y FH Clarke desarrollaron nuevas herramientas matemáticas para el cálculo de variaciones en la teoría del control óptimo . [6] La programación dinámica de Richard Bellman es una alternativa al cálculo de variaciones. [7] [8] [9] [b]
Extrema
El cálculo de variaciones se ocupa de los máximos o mínimos (denominados colectivamente extremos ) de los funcionales. Un funcional asigna funciones a escalares , por lo que los funcionales se han descrito como "funciones de funciones". Los funcionales tienen extremos con respecto a los elementosde un espacio funcional dado definido sobre un dominio dado . Un funcional se dice que tiene un extremo en la función Si tiene el mismo signo para todos en un barrio arbitrariamente pequeño de [c] La funciónse llama una extremal función o extremal. [d] El extremo se llama un máximo local si en todas partes en un vecindario arbitrariamente pequeño de y un mínimo local si allí. Para un espacio funcional de funciones continuas, los extremos de las funciones correspondientes se denominan extremos débiles o extremos fuertes , dependiendo de si las primeras derivadas de las funciones continuas son respectivamente todas continuas o no. [11]
Los extremos fuertes y débiles de las funciones son para un espacio de funciones continuas, pero los extremos fuertes tienen el requisito adicional de que las primeras derivadas de las funciones en el espacio sean continuas. Por lo tanto, un extremo fuerte es también un extremo débil, pero lo contrario puede no ser válido. Encontrar extremos fuertes es más difícil que encontrar extremos débiles. [12] Un ejemplo de una condición necesaria que se utiliza para encontrar extremos débiles es la ecuación de Euler-Lagrange . [13] [e]
Ecuación de Euler-Lagrange
Encontrar los extremos de funcionales es similar a encontrar los máximos y mínimos de funciones. Los máximos y mínimos de una función se pueden ubicar encontrando los puntos donde su derivada desaparece (es decir, es igual a cero). Los extremos de los funcionales se pueden obtener encontrando funciones donde la derivada funcional es igual a cero. Esto lleva a resolver la ecuación de Euler-Lagrange asociada . [F]
Considere lo funcional
dónde
- son constantes ,
- es dos veces diferenciable de forma continua,
- es dos veces continuamente diferenciable con respecto a sus argumentos y
Si el funcional alcanza un mínimo local en y es una función arbitraria que tiene al menos una derivada y desaparece en los extremos y luego para cualquier número cerca de 0,
El termino se llama la variación de la función y se denota por [1] [g]
Sustituyendo por en lo funcional el resultado es una función de
Dado que el funcional tiene un mínimo para la función tiene un mínimo en y así, [h]
Tomando la derivada total de dónde y se consideran funciones de en vez de rendimientos
y porqué y
Por lo tanto,
dónde Cuándo y hemos utilizado la integración por partes en el segundo término. El segundo término de la segunda línea desaparece porque a y por definición. Además, como se mencionó anteriormente, el lado izquierdo de la ecuación es cero, de modo que
Según el lema fundamental del cálculo de variaciones , la parte del integrando entre paréntesis es cero, es decir
que se llama ecuación de Euler-Lagrange . El lado izquierdo de esta ecuación se llama derivada funcional de y se denota
En general, esto da una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que se puede resolver para obtener la función extremaLa ecuación de Euler-Lagrange es una condición necesaria , pero no suficiente , para un extremoUna condición suficiente para un mínimo se da en la sección Variaciones y una condición suficiente para un mínimo .
Ejemplo
Para ilustrar este proceso, considere el problema de encontrar la función extrema cuál es la curva más corta que conecta dos puntos y La longitud del arco de la curva está dada por
con
[I]
La ecuación de Euler-Lagrange ahora se utilizará para encontrar la función extrema que minimiza lo funcional
con
Desde no aparece explícitamente en el primer término de la ecuación de Euler-Lagrange desaparece para todos y por lo tanto,
Sustituyendo y tomando la derivada,
Por lo tanto
por alguna constante Luego
dónde
Resolviendo, obtenemos
lo que implica que
es una constante y, por lo tanto, la curva más corta que conecta dos puntos y es
y así hemos encontrado la función extrema que minimiza lo funcional así que eso es un mínimo. La ecuación para una línea recta esEn otras palabras, la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta. [j]
La identidad de Beltrami
En problemas de física puede darse el caso de que lo que significa que el integrando es una función de y pero no aparece por separado. En ese caso, la ecuación de Euler-Lagrange se puede simplificar a la identidad de Beltrami [16]
dónde es una constante. El lado izquierdo es la transformación de Legendre de con respecto a
La intuición detrás de este resultado es que, si la variable es en realidad el tiempo, entonces la declaración implica que el lagrangiano es independiente del tiempo. Según el teorema de Noether , existe una cantidad conservada asociada. En este caso, esta cantidad es el hamiltoniano, la transformada de Legendre del lagrangiano, que (a menudo) coincide con la energía del sistema. Esta es (menos) la constante en la identidad de Beltrami.
Ecuación de Euler-Poisson
Si depende de las derivadas superiores de eso es, si
luego debe satisfacer la ecuación de Euler- Poisson ,
[17]
Teorema de Du Bois-Reymond
La discusión hasta ahora ha asumido que las funciones extremas poseen dos derivadas continuas, aunque la existencia de la integral requiere solo las primeras derivadas de las funciones de prueba. La condición de que la primera variación desaparezca en un extremo puede considerarse como una forma débil de la ecuación de Euler-Lagrange. El teorema de Du Bois-Reymond afirma que esta forma débil implica la forma fuerte. Si tiene una primera y segunda derivadas continuas con respecto a todos sus argumentos, y si
luego tiene dos derivadas continuas y satisface la ecuación de Euler-Lagrange.
Fenómeno de Lavrentiev
Hilbert fue el primero en dar buenas condiciones para que las ecuaciones de Euler-Lagrange dieran una solución estacionaria. Dentro de un área convexa y un Lagrangiano positivo tres veces diferenciable, las soluciones se componen de una colección contable de secciones que van a lo largo del límite o satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange en el interior.
Sin embargo, Lavrentiev en 1926 demostró que hay circunstancias en las que no hay una solución óptima, pero se puede acercar a una arbitrariamente de cerca aumentando el número de secciones. El fenómeno de Lavrentiev identifica una diferencia en el mínimo de un problema de minimización entre diferentes clases de funciones admisibles. Por ejemplo, el siguiente problema, presentado por Manià en 1934: [18]
Claramente, minimiza lo funcional, pero encontramos cualquier función da un valor acotado fuera del mínimo.
Los ejemplos (en una dimensión) se manifiestan tradicionalmente en y pero Ball y Mizel [19] consiguieron la primera función que mostraba el Fenómeno de Lavrentiev a través y por Hay varios resultados que dan criterios bajo los cuales el fenómeno no ocurre - por ejemplo, 'crecimiento estándar', un Lagrangiano sin dependencia de la segunda variable, o una secuencia aproximada que satisface la Condición de Cesari (D) - pero los resultados son a menudo particulares, y aplicable a una pequeña clase de funcionales.
Conectada con el Fenómeno de Lavrentiev está la propiedad de repulsión: cualquier función que muestre el Fenómeno de Lavrentiev mostrará la propiedad de repulsión débil. [20]
Funciones de varias variables
Por ejemplo, si denota el desplazamiento de una membrana por encima del dominio en el plano, entonces su energía potencial es proporcional a su área de superficie:
El problema de Plateau consiste en encontrar una función que minimice el área de superficie asumiendo valores prescritos en el límite de; las soluciones se denominan superficies mínimas . La ecuación de Euler-Lagrange para este problema no es lineal:
Consulte Courant (1950) para obtener más detalles.
Principio de Dirichlet
A menudo es suficiente considerar solo pequeños desplazamientos de la membrana, cuya diferencia de energía sin desplazamiento se aproxima por
El funcional debe minimizarse entre todas las funciones de prueba que asumen valores prescritos en el límite de Si es la función minimizadora y es una función suave arbitraria que se desvanece en el límite de luego la primera variación de debe desaparecer:
Siempre que u tenga dos derivadas, podemos aplicar el teorema de divergencia para obtener
dónde es el límite de es un arco a lo largo y es la derivada normal de en Desde desaparece en y la primera variación desaparece, el resultado es
para todas las funciones suaves v que se desvanecen en el límite de La prueba para el caso de integrales unidimensionales puede adaptarse a este caso para mostrar que
- en
La dificultad de este razonamiento es la suposición de que la función minimizadora u debe tener dos derivadas. Riemann argumentó que la existencia de una función de minimización suave estaba asegurada por la conexión con el problema físico: las membranas de hecho asumen configuraciones con energía potencial mínima. Riemann llamó a esta idea el principio de Dirichlet en honor a su maestro Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Sin embargo, Weierstrass dio un ejemplo de un problema variacional sin solución: minimizar
entre todas las funciones que satisfacen y puede hacerse arbitrariamente pequeño eligiendo funciones lineales por partes que hacen una transición entre -1 y 1 en una pequeña vecindad del origen. Sin embargo, no hay ninguna función que haga[k] Finalmente se demostró que el principio de Dirichlet es válido, pero requiere una aplicación sofisticada de la teoría de la regularidad para ecuaciones diferenciales parciales elípticas ; véase Jost y Li – Jost (1998).
Generalización a otros problemas de valores de frontera
Una expresión más general para la energía potencial de una membrana es
Esto corresponde a una densidad de fuerza externa en una fuerza externa en el límite y fuerzas elásticas con módulo actuando La función que minimiza la energía potencial sin restricción en sus valores límite se denotará por Siempre que y son continuas, la teoría de la regularidad implica que la función minimizadora tendrá dos derivadas. Al tomar la primera variación, no es necesario imponer ninguna condición de límite al incrementoLa primera variación de es dado por
Si aplicamos el teorema de la divergencia, el resultado es
Si primero establecemos en la integral de frontera desaparece, y concluimos como antes que
en Entonces si permitimos asumir valores de frontera arbitrarios, esto implica que debe satisfacer la condición de frontera
en Esta condición de contorno es una consecuencia de la propiedad minimizadora de : no se impone de antemano. Estas condiciones se denominan condiciones de contorno naturales .
El razonamiento anterior no es válido si desaparece de forma idéntica en En tal caso, podríamos permitir una función de prueba dónde es una constante. Para tal función de prueba,
Por elección adecuada de puede asumir cualquier valor a menos que la cantidad entre paréntesis desaparezca. Por lo tanto, el problema variacional no tiene sentido a menos que
Esta condición implica que las fuerzas externas netas sobre el sistema están en equilibrio. Si estas fuerzas están en equilibrio, entonces el problema variacional tiene solución, pero no es único, ya que se puede agregar una constante arbitraria. Más detalles y ejemplos se encuentran en Courant y Hilbert (1953).
Problemas de valores propios
Los problemas de valores propios unidimensionales y multidimensionales pueden formularse como problemas variacionales.
Problemas de Sturm-Liouville
El problema de valores propios de Sturm-Liouville implica una forma cuadrática general
dónde está restringido a funciones que satisfacen las condiciones de contorno
Dejar ser una integral de normalización
Las funciones y deben ser positivos en todas partes y delimitados desde cero. El principal problema variacional es minimizar la relación entre todos satisfaciendo las condiciones del punto final. A continuación se muestra que la ecuación de Euler-Lagrange para minimizar es
dónde es el cociente
Se puede demostrar (ver Gelfand y Fomin 1963) que la minimización tiene dos derivadas y satisface la ecuación de Euler-Lagrange. El asociado será denotado por ; es el valor propio más bajo para esta ecuación y condiciones de contorno. La función de minimización asociada se indicará medianteEsta caracterización variacional de los valores propios conduce al método de Rayleigh-Ritz : elija una aproximacióncomo una combinación lineal de funciones básicas (por ejemplo, funciones trigonométricas) y llevar a cabo una minimización de dimensión finita entre dichas combinaciones lineales. Este método suele ser sorprendentemente preciso.
El valor propio más pequeño y la función propia más pequeños se pueden obtener minimizando bajo la restricción adicional
Este procedimiento se puede ampliar para obtener la secuencia completa de valores propios y funciones propias del problema.
El problema variacional también se aplica a condiciones de contorno más generales. En lugar de requerir eso desaparecen en los puntos finales, no podemos imponer ninguna condición en los puntos finales y establecer
dónde y son arbitrarios. Si ponemosla primera variación de la relación es
donde λ está dada por la relación como anteriormente. Después de la integración por partes,
Si primero requerimos eso desaparecen en los puntos finales, la primera variación se desvanecerá para todos esos sólo si
Si satisface esta condición, entonces la primera variación desaparecerá por arbitrario sólo si
Estas últimas condiciones son las condiciones de frontera naturales para este problema, ya que no se imponen a las funciones de prueba para la minimización, sino que son una consecuencia de la minimización.
Problemas de valores propios en varias dimensiones
Los problemas de valores propios en dimensiones superiores se definen en analogía con el caso unidimensional. Por ejemplo, dado un dominio con límite en tres dimensiones podemos definir
y
Dejar ser la función que minimiza el cociente sin condición prescrita en el límite La ecuación de Euler-Lagrange satisfecha por es
dónde
La minimización también debe satisfacer la condición de límite natural
en el límite Este resultado depende de la teoría de la regularidad para ecuaciones diferenciales parciales elípticas; ver Jost y Li – Jost (1998) para más detalles. Muchas extensiones, incluidos los resultados de completitud, las propiedades asintóticas de los valores propios y los resultados relacionados con los nodos de las funciones propias se encuentran en Courant y Hilbert (1953).
Aplicaciones
Óptica
El principio de Fermat establece que la luz toma un camino que (localmente) minimiza la longitud óptica entre sus extremos. Si el-coordinate se elige como parámetro a lo largo de la ruta, y a lo largo del camino, entonces la longitud óptica viene dada por
donde el índice de refracción depende del material. Si lo intentamosluego la primera variación de (la derivada de con respecto a ε) es
Después de la integración por partes del primer término entre paréntesis, obtenemos la ecuación de Euler-Lagrange
Los rayos de luz se pueden determinar integrando esta ecuación. Este formalismo se utiliza en el contexto de la óptica lagrangiana y la óptica hamiltoniana .
La ley de Snell
Existe una discontinuidad del índice de refracción cuando la luz entra o sale de una lente. Dejar
dónde y son constantes. Entonces, la ecuación de Euler-Lagrange se mantiene como antes en la región donde o y de hecho el camino es una línea recta allí, ya que el índice de refracción es constante. En el debe ser continuo, pero puede ser discontinuo. Después de la integración por partes en las regiones separadas y usando las ecuaciones de Euler-Lagrange, la primera variación toma la forma
El factor multiplicando es el seno del ángulo del rayo incidente con el eje, y el factor multiplicando es el seno del ángulo del rayo refractado con el eje. La ley de refracción de Snell requiere que estos términos sean iguales. Como demuestra este cálculo, la ley de Snell es equivalente a la desaparición de la primera variación de la longitud del camino óptico.
El principio de Fermat en tres dimensiones
Es conveniente utilizar la notación vectorial: deje dejar ser un parámetro, deja ser la representación paramétrica de una curva y deja ser su vector tangente. La longitud óptica de la curva viene dada por
Tenga en cuenta que esta integral es invariante con respecto a los cambios en la representación paramétrica de Las ecuaciones de Euler-Lagrange para una curva minimizadora tienen la forma simétrica
dónde
De la definición se desprende que satisface
Por lo tanto, la integral también se puede escribir como
Esta forma sugiere que si podemos encontrar una función cuyo gradiente está dado por entonces la integral viene dada por la diferencia de en los puntos finales del intervalo de integración. Así, el problema de estudiar las curvas que hacen estacionaria la integral puede relacionarse con el estudio de las superficies de nivel dePara encontrar dicha función, recurrimos a la ecuación de onda, que gobierna la propagación de la luz. Este formalismo se utiliza en el contexto de la óptica lagrangiana y la óptica hamiltoniana .
Conexión con la ecuación de onda
La ecuación de onda para un medio no homogéneo es
dónde es la velocidad, que generalmente depende de Los frentes de onda para la luz son superficies características para esta ecuación diferencial parcial: satisfacen
Podemos buscar soluciones en la forma
En ese caso, satisface
dónde Según la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden , si luego satisface
a lo largo de un sistema de curvas ( los rayos de luz ) que son dados por
Estas ecuaciones para la solución de una ecuación diferencial parcial de primer orden son idénticas a las ecuaciones de Euler-Lagrange si hacemos la identificación
Concluimos que la función es el valor de la integral minimizadora en función del punto final superior. Es decir, cuando se construye una familia de curvas minimizadoras, los valores de la longitud óptica satisfacen la ecuación característica correspondiente a la ecuación de onda. Por tanto, resolver la ecuación diferencial parcial asociada de primer orden equivale a encontrar familias de soluciones del problema variacional. Este es el contenido esencial de la teoría de Hamilton-Jacobi , que se aplica a problemas variacionales más generales.
Mecánica
En la mecánica clásica, la acción, se define como la integral de tiempo del Lagrangiano, El Lagrangiano es la diferencia de energías,
dónde es la energía cinética de un sistema mecánico ysu energía potencial . El principio de Hamilton (o el principio de acción) establece que el movimiento de un sistema mecánico holonómico conservador (restricciones integrables) es tal que la acción integral
está estacionario con respecto a las variaciones en el camino Las ecuaciones de Euler-Lagrange para este sistema se conocen como ecuaciones de Lagrange:
y son equivalentes a las ecuaciones de movimiento de Newton (para tales sistemas).
Los momentos conjugados están definidos por
Por ejemplo, si
luego
La mecánica hamiltoniana resulta si los momentos conjugados se introducen en lugar de por una transformación de Legendre del Lagrangiano en el hamiltoniano definido por
El hamiltoniano es la energía total del sistema: La analogía con el principio de Fermat sugiere que las soluciones de las ecuaciones de Lagrange (las trayectorias de las partículas) pueden describirse en términos de superficies de nivel de alguna función de Esta función es una solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi :
Otras aplicaciones
Otras aplicaciones del cálculo de variaciones incluyen las siguientes:
- La derivación de la forma catenaria
- Solución al problema de resistencia mínima de Newton
- Solución al braquistocrona problema
- Solución a problemas isoperimétricos
- Calcular geodésicas
- Encontrar superficies mínimas y resolver el problema de Plateau
- Control optimo
Variaciones y condición suficiente para un mínimo
El cálculo de variaciones se ocupa de variaciones de funcionales, que son pequeños cambios en el valor del funcional debido a pequeños cambios en la función que es su argumento. La primera variación [l] se define como la parte lineal del cambio en el funcional, y la segunda variación [m] se define como la parte cuadrática. [22]
Por ejemplo, si es un funcional con la función como su argumento, y hay un pequeño cambio en su argumento de a dónde es una función en el mismo espacio funcional que entonces el cambio correspondiente en el funcional es
- [norte]
El funcional se dice que es diferenciable si
dónde es un funcional lineal, [o] es la norma de [p] y como El funcional lineal es la primera variación de y se denota por, [26]
El funcional se dice que es dos veces diferenciable si
dónde es un funcional lineal (la primera variación), es un funcional cuadrático, [q] y como El funcional cuadrático es la segunda variación de y se denota por, [28]
La segunda variante se dice que es muy positivo si
para todos y por alguna constante . [29]
Usando las definiciones anteriores, especialmente las definiciones de primera variación, segunda variación y fuertemente positiva, se puede establecer la siguiente condición suficiente para un mínimo de un funcional.
- El funcional tiene un mínimo en si su primera variante a y su segunda variante es muy positivo en [30] [r] [s]
Ver también
- Primera variación
- Desigualdad isoperimétrica
- Principio de variación
- Bicomplejo variacional
- Principio de Fermat
- Principio de mínima acción
- Optimización de dimensiones infinitas
- Análisis funcional
- Principio variacional de Ekeland
- Problema inverso para la mecánica lagrangiana
- Problema de obstáculos
- Métodos de perturbación
- Medida joven
- Control optimo
- Método directo en cálculo de variaciones
- Teorema de noether
- Teoría de De Donder-Weyl
- Métodos Bayesianos Variacionales
- Problema de Chaplygin
- Colector de Nehari
- Principio Hu-Washizu
- Principio variacional de Lucas
- Teorema del paso de montaña
- Categoría: Analistas variacionales
- Medidas de tendencia central como soluciones a problemas variacionales
- Medalla Stampacchia
- Premio Fermat
- Espacio vectorial conveniente
Notas
- ^ Mientras que el cálculo elemental se trata decambios infinitesimalmente pequeños en los valores de las funciones sin cambios en la función en sí, el cálculo de variaciones se trata de cambios infinitesimalmente pequeños en la función misma, que se denominan variaciones. [1]
- ^ Ver Harold J. Kushner (2004) : con respecto a la programación dinámica, "El cálculo de variaciones tenía ideas relacionadas (por ejemplo, el trabajo de Caratheodory, la ecuación de Hamilton-Jacobi). Esto condujo a conflictos con la comunidad de cálculo de variaciones".
- ^ El barrio de es la parte del espacio funcional dado donde sobre todo el dominio de las funciones, con un número positivo que especifica el tamaño del vecindario. [10]
- ^ Note la diferencia entre los términos extremal y extremum. Un extremo es una función que convierte a un funcional en un extremo.
- ^ Para una condición suficiente, consulte la sección Variaciones y condición suficiente para un mínimo .
- ^ La siguiente derivación de la ecuación de Euler-Lagrange corresponde a la derivación de las páginas 184-185 de Courant y Hilbert (1953). [14]
- ^ Tenga en cuenta que y se evalúan con los mismos valores de lo cual no es válido de manera más general en el cálculo variacional con restricciones no holonómicas.
- ^ El producto se llama la primera variación del funcional y se denota por Algunas referencias definen la primera variación de manera diferente al omitir el factor.
- ^ Tenga en cuenta que asumir y es una función de x pierde generalidad; idealmente ambos deberían ser una función de algún otro parámetro. Este enfoque es bueno únicamente para fines instructivos.
- ↑ Como nota histórica, este es un axioma de Arquímedes . Véase, por ejemplo, Kelland (1843). [15]
- ↑ Turnbull explica la controversia resultante sobre la validez del principio de Dirichlet. [21]
- ^ La primera variación también se llama variación, diferencial o primer diferencial.
- ^ La segunda variación también se llama segundo diferencial.
- ^ Tenga en cuenta que y las variaciones a continuación, dependen de ambos y El argumento se ha dejado fuera para simplificar la notación. Por ejemplo, podría haber sido escrito [23]
- ^ Un funcionalse dice que es lineal si y dónde son funciones y es un número real. [24]
- ^ Para una función que se define para dónde y son números reales, la norma de es su valor absoluto máximo, es decir [25]
- ^ Se dice que un funcional es cuadrático si es un funcional bilineal con dos funciones de argumento que son iguales. Un funcional bilineal es un funcional que depende de dos funciones de argumento y es lineal cuando cada función de argumento a su vez es fija mientras que la otra función de argumento es variable. [27]
- ^ Para otras condiciones suficientes, ver en Gelfand & Fomin 2000 ,
- Capítulo 5: "La segunda variación. Condiciones suficientes para un extremo débil" - Las condiciones suficientes para un mínimo débil están dadas por el teorema de la p. 116.
- Capítulo 6: "Campos. Condiciones suficientes para un extremo fuerte" - Las condiciones suficientes para un mínimo fuerte están dadas por el teorema de la p. 148.
- ^ Se puede notar la similitud con la condición suficiente para un mínimo de una función, donde la primera derivada es cero y la segunda derivada es positiva.
Referencias
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Otras lecturas
- Benesova, B. y Kruzik, M .: "Semicontinuidad inferior débil de aplicaciones y funciones integrales" . Revisión de SIAM 59 (4) (2017), 703–766.
- Bolza, O .: Conferencias sobre el cálculo de variaciones . Chelsea Publishing Company, 1904, disponible en la biblioteca de Digital Mathematics. Segunda edición reeditada en 1961, rústica en 2005, ISBN 978-1-4181-8201-4 .
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enlaces externos
- Cálculo variacional . Enciclopedia de Matemáticas .
- cálculo de variaciones . PlanetMath .
- Cálculo de variaciones . MathWorld .
- Cálculo de variaciones . Problemas de ejemplo.
- Matemáticas - Cálculo de variaciones y ecuaciones integrales . Conferencias en YouTube .
- Artículos seleccionados sobre campos geodésicos. Parte I , Parte II .