En matemáticas , el número de rotación es invariante de los homeomorfismos del círculo .
Historia
Fue definido por primera vez por Henri Poincaré en 1885, en relación con la precesión del perihelio de una órbita planetaria . Poincaré demostró más tarde un teorema que caracteriza la existencia de órbitas periódicas en términos de racionalidad del número de rotación.
Definición
Supongamos que f : S 1 → S 1 es una orientación preservar homeomorfismo del círculo S 1 = R / Z . Entonces f puede elevarse a un homeomorfismo F : R → R de la línea real, satisfaciendo
para todo número real xy todo entero m .
El número de rotación de f se define en términos de las iteraciones de F :
Henri Poincaré demostró que el límite existe y es independiente de la elección del punto de partida x . El ascensor F es enteros módulo únicos, por lo tanto el número de rotación es un elemento bien definido de R / Z . Intuitivamente, mide el ángulo de rotación promedio a lo largo de las órbitas de f .
Ejemplo
Si f es una rotación de 2πθ (donde 0≤θ <1 ), entonces
entonces su número de rotación es θ (cf Rotación irracional ).
Propiedades
El número de rotación es invariante bajo conjugación topológica , e incluso monótono topológica semiconjugacy : si f y g son dos homeomorfismos del círculo y
para una monótona mapa continuo h del círculo en sí misma (no necesariamente homeomorfa), entonces f y g tienen los mismos números de rotación. Fue utilizado por Poincaré y Arnaud Denjoy para la clasificación topológica de los homeomorfismos del círculo. Hay dos posibilidades distintas.
- El número de rotación de f es un número racional p / q (en los términos más bajos). Entonces f tiene una órbita periódica , cada órbita periódica tiene un período q , y el orden de los puntos en cada una de esas órbitas coincide con el orden de los puntos para una rotación por p / q . Además, cada órbita directa de f converge a una órbita periódica. Lo mismo es cierto para las órbitas hacia atrás , correspondientes a iteraciones de f −1 , pero las órbitas periódicas limitantes en direcciones hacia adelante y hacia atrás pueden ser diferentes.
- El número de rotación de f es un número irracional θ . Entonces f no tiene órbitas periódicas (esto sigue inmediatamente al considerar un punto periódico x de f ). Hay dos subcasas.
- Existe una órbita densa. En este caso f se conjuga topológicamente con la rotación irracional por el ángulo θ y todas las órbitas son densas . Denjoy demostró que esta posibilidad siempre se realiza cuando f es dos veces diferenciable de forma continua.
- Existe un conjunto de Cantor C invariante bajo f . Entonces C es un conjunto mínimo único y las órbitas de todos los puntos, tanto en dirección hacia adelante y atrás convergen para C . En este caso, f es semiconjugate a la rotación irracional por θ , y el mapa semiconjugating h de grado 1 es constante sobre los componentes del complemento de C .
El número de rotación es continuo cuando se ve como un mapa del grupo de homeomorfismos (con topología) del círculo en el círculo.
Ver también
Referencias
- MR Herman, Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations , Publ. Matemáticas. IHES, 49 (1979) págs. 5–234
- Sebastian van Strien, Números de rotación y teorema de Poincaré (2001)
enlaces externos
- Michał Misiurewicz (ed.). "Teoría de la rotación" . Scholarpedia .
- Weisstein, Eric W. "Map Winding Number". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram