En matemáticas , un par Ruth-Aaron consta de dos números enteros consecutivos (por ejemplo, 714 y 715) para los cuales las sumas de los factores primos de cada número entero son iguales:
- 714 = 2 × 3 × 7 × 17
- 715 = 5 × 11 × 13
y
- 2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 = 29.
Hay diferentes variaciones en la definición, dependiendo de cuántas veces se cuenten los números primos que aparecen varias veces en una factorización.
El nombre fue dado por Carl Pomerance para Babe Ruth y Hank Aaron , ya que el total de jonrones de Ruth en la temporada regular fue de 714, un récord que Aaron eclipsó el 8 de abril de 1974, cuando conectó el jonrón 715 de su carrera. Pomerance era matemático en la Universidad de Georgia en el momento en que Aaron (un miembro de los cercanos Atlanta Braves ) rompió el récord de Ruth, y el estudiante de uno de los colegas de Pomerance notó que las sumas de los factores primos de 714 y 715 eran iguales. [1]
Ejemplos de
Si solo se cuentan los factores primos distintos , los primeros pares de Ruth-Aaron son:
- ( 5 , 6 ), ( 24 , 25 ), ( 49 , 50 ), ( 77 , 78 ), ( 104 , 105 ), ( 153 , 154 ), (369, 370), (492, 493), (714 , 715), (1682, 1683), (2107, 2108)
(El menor de cada par se enumera en OEIS : A006145 ).
Contando factores primos repetidos (p. Ej., 8 = 2 × 2 × 2 y 9 = 3 × 3 con 2 + 2 + 2 = 3 + 3), los primeros pares de Ruth-Aaron son:
(El menor de cada par se enumera en OEIS : A039752 ).
Comienza la intersección de las dos listas:
- (5, 6), (77, 78), (714, 715), (5405, 5406).
(El menor de cada par se enumera en OEIS : A039753 ).
Cualquier par de números enteros sin cuadrados de Ruth-Aaron pertenece a ambas listas con la misma suma de factores primos. La intersección también contiene pares que no están libres de cuadrados, por ejemplo (7129199, 7129200) = (7 × 11 2 × 19 × 443, 2 4 × 3 × 5 2 × 13 × 457). Aquí 7 + 11 + 19 + 443 = 2 + 3 + 5 + 13 + 457 = 480, y también 7 + 11 + 11 + 19 + 443 = 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 5 + 5 + 13 + 457 = 491.
Densidad
Los pares de Ruth-Aaron son escasos (es decir, tienen densidad 0). Esto fue conjeturado por Nelson et al. en 1974 [2] y probado en 1978 por Paul Erdős y Pomerance. [3]
Trillizos Ruth-Aaron
También existen trillizos Rut-Aarón (pares superpuestos de Rut-Aarón). El primero y posiblemente el segundo al contar distintos factores primos:
- 89460294 = 2 × 3 × 7 × 11 × 23 × 8419
- 89460295 = 5 × 4201 × 4259
- 89460296 = 2 × 2 × 2 × 31 × 43 × 8389
- y 2 + 3 + 7 + 11 + 23 + 8419 = 5 + 4201 + 4259 = 2 + 31 + 43 + 8389 = 8465.
- 151165960539 = 3 × 11 × 11 × 83 × 2081 × 2411,
- 151165960540 = 2 × 2 × 5 × 7 × 293 × 1193 × 3089
- 151165960541 = 23 × 29 × 157 × 359 × 4021
- y 3 + 11 + 83 + 2081 + 2411 = 2 + 5 + 7 + 293 + 1193 + 3089 = 23 + 29 + 157 + 359 + 4021 = 4589.
Los dos primeros trillizos de Ruth-Aaron al contar factores primos repetidos:
- 417162 = 2 × 3 × 251 × 277
- 417163 = 17 × 53 × 463
- 417164 = 2 × 2 × 11 × 19 × 499
- y 2 + 3 + 251 + 277 = 17 + 53 + 463 = 2 + 2 + 11 + 19 + 499 = 533.
- 6913943284 = 2 × 2 × 37 × 89 × 101 × 5197
- 6913943285 = 5 × 283 × 1259 × 3881
- 6913943286 = 2 × 3 × 167 × 2549 × 2707
- y 2 + 2 + 37 + 89 + 101 + 5197 = 5 + 283 + 1259 + 3881 = 2 + 3 + 167 + 2549 + 2707 = 5428.
A partir de 2006[actualizar]sólo se conocen los 4 tripletes anteriores. [ cita requerida ]
Ver también
Referencias
- ^ Números de Aaron - Numberphile
- ^ Nelson, C .; Penney, DE; y Pomerance, C. "714 y 715". J. Recr. Matemáticas. 7, 87-89, 1974.
- ^ Erdős, P. y Pomerance, C. "Sobre los factores primos más grandes de n y n + 1". Aequationes Mathematicae 17, 311-321, 1978.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Pareja Ruth-Aaron" . MathWorld .
- "Trillizos de Ruth-Aaron" y "Pares de Ruth-Aaron revisitados" . La conexión principal de rompecabezas y problemas . Consultado el 9 de noviembre de 2006.