En matemáticas , el teorema de Sard , también conocido como lema de Sard o el teorema de Morse-Sard , es un resultado en el análisis matemático que afirma que el conjunto de valores críticos (es decir, la imagen del conjunto de puntos críticos ) de una función suave f de un espacio o variedad euclidiana a otro es un conjunto nulo , es decir, tiene la medida de Lebesgue 0. Esto hace que el conjunto de valores críticos sea "pequeño" en el sentido de una propiedad genérica . El teorema lleva el nombre de Anthony Morsey Arthur Sard .
Declaración
Más explícitamente, [1] deje
ser , (es decir, veces continuamente diferenciable ), donde. Dejardenotar el conjunto crítico de cual es el conjunto de puntos en el que la matriz jacobiana detiene rango . Entonces la imagen tiene Lebesgue medida 0 en .
Intuitivamente hablando, esto significa que aunque puede ser grande, su imagen debe ser pequeña en el sentido de la medida de Lebesgue: mientras puede tener muchos puntos críticos en el dominio, debe tener pocos valores críticos en la imagen.
De manera más general, el resultado también es válido para las asignaciones entre variedades diferenciables y de dimensiones y , respectivamente. El conjunto crítico de un función
consiste en aquellos puntos en los que el diferencial
tiene rango menor que como una transformación lineal. Si, entonces el teorema de Sard afirma que la imagen de tiene medida cero como un subconjunto de . Esta formulación del resultado se deriva de la versión para espacios euclidianos tomando un conjunto contable de parches de coordenadas. La conclusión del teorema es un enunciado local, ya que una unión contable de conjuntos de medida cero es un conjunto de medida cero, y la propiedad de un subconjunto de un parche de coordenadas que tiene medida cero es invariante bajo difeomorfismo .
Variantes
Hay muchas variantes de este lema, que juega un papel básico en la teoría de la singularidad entre otros campos. El casofue probado por Anthony P. Morse en 1939, [2] y el caso general por Arthur Sard en 1942. [1]
Stephen Smale probó una versión para variedades Banach de dimensión infinita . [3]
La declaración es bastante poderosa y la prueba implica análisis. En topología se cita a menudo, como en el teorema del punto fijo de Brouwer y algunas aplicaciones en la teoría Morse , para demostrar el corolario más débil de que “un mapa suave no constante tiene al menos un valor regular”.
En 1965, Sard generalizó aún más su teorema para afirmar que si es por y si es el conjunto de puntos tal que tiene rango estrictamente menor que , entonces la medida r- dimensional de Hausdorff dees cero. [4] En particular, la dimensión de Hausdorff dees como máximo r . Advertencia: La dimensión de Hausdorff depuede estar arbitrariamente cerca de r . [5]
Ver también
Referencias
- ^ a b Sard, Arthur (1942), "La medida de los valores críticos de mapas diferenciables" , Boletín de la American Mathematical Society , 48 (12): 883–890, doi : 10.1090 / S0002-9904-1942-07811- 6 , MR 0007523 , Zbl 0063.06720 .
- ^ Morse, Anthony P. (enero de 1939), "El comportamiento de una función en su conjunto crítico", Annals of Mathematics , 40 (1): 62–70, doi : 10.2307 / 1968544 , JSTOR 1968544 , MR 1503449 .
- ^ Smale, Stephen (1965), "An Infinite Dimensional Version of Sard's Theorem", American Journal of Mathematics , 87 (4): 861–866, doi : 10.2307 / 2373250 , JSTOR 2373250 , MR 0185604 , Zbl 0143.35301 .
- ^ Sard, Arthur (1965), "Hausdorff Measure of Critical Images on Banach Manifolds", American Journal of Mathematics , 87 (1): 158-174, doi : 10.2307 / 2373229 , JSTOR 2373229 , MR 0173748 , Zbl 0137.42501 y también Sard, Arthur (1965), "Errata a medidas de Hausdorff de imágenes críticas en variedades de Banach ", American Journal of Mathematics , 87 (3): 158-174, doi : 10.2307 / 2373229 , JSTOR 2373074 , MR 0180649 , Zbl 0137.42501 .
- ^ "Demuestre que f (C) tiene una dimensión de Hausdorff como máximo cero" , Stack Exchange , 18 de julio de 2013
Otras lecturas
- Hirsch, Morris W. (1976), Topología diferencial , Nueva York: Springer, págs. 67–84, ISBN 0-387-90148-5.
- Sternberg, Shlomo (1964), Conferencias sobre geometría diferencial , Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall , MR 0193578 , Zbl 0129.13102 .