Modelo saturado

En lógica matemática , y particularmente en su teoría del modelo de subcampo , un modelo saturado M es aquel que realiza tantos tipos completos como pueda "razonablemente esperarse" dado su tamaño. Por ejemplo, un modelo ultrapoderoso de los hiperreal está saturado, lo que significa que cada secuencia anidada descendente de conjuntos internos tiene una intersección no vacía. [1]

Sea κ un número cardinal finito o infinito y M un modelo en algún lenguaje de primer orden . Entonces M se llama κ saturados si por todos los subconjuntos A ⊆ M de cardinalidad menos que κ , el modelo M se da cuenta de todos los tipos completos sobre una . El modelo M se llama saturado si es | M | -saturada donde | M | denota la cardinalidad de M. Es decir, realiza todos los tipos completos sobre conjuntos de parámetros de tamaño inferior a | M |. Según algunos autores, un modelo M se denomina saturado numerablemente si está -saturado; es decir, realiza todos los tipos completos sobre conjuntos contables de parámetros. [2] Según otros, es contablemente saturado si es contable y saturado. [3]

La noción aparentemente más intuitiva, de que se realizan todos los tipos completos del lenguaje, resulta ser demasiado débil (y se la denomina apropiadamente saturación débil , que es lo mismo que saturación 1). La diferencia radica en el hecho de que muchas estructuras contienen elementos que no son definibles (por ejemplo, cualquier elemento trascendental de R es, por definición de la palabra, no definible en el lenguaje de los campos ). Sin embargo, todavía forman parte de la estructura, por lo que necesitamos tipos para describir las relaciones con ellos. Por lo tanto, permitimos conjuntos de parámetros de la estructura en nuestra definición de tipos. Este argumento nos permite discutir características específicas del modelo que de otro modo podríamos pasar por alto, por ejemplo, un límite en un modelo específico.La secuencia creciente c n se puede expresar como la realización del tipo { x ≥ c n  : n ∈ ω}, que usa muchos parámetros contables. Si la secuencia no es definible, este hecho sobre la estructura no se puede describir usando el lenguaje base, por lo que una estructura débilmente saturada puede no unir la secuencia, mientras que una estructura ℵ 1- saturada sí lo hará.

La razón por la que solo requerimos conjuntos de parámetros que son estrictamente más pequeños que el modelo es trivial: sin esta restricción, ningún modelo infinito está saturado. Considere un modelo M y el tipo { x ≠ m  : m ∈ M }. Cada subconjunto finito de este tipo se realiza en el modelo (infinito) M , por lo que por compacidad es consistente con M , pero trivialmente no se realiza. Cualquier definición que esté universalmente insatisfecha es inútil; de ahí la restricción.

Se puede demostrar que tanto la teoría de Q como la teoría del gráfico aleatorio contable son categóricas a través del método de ida y vuelta . Esto se puede generalizar de la siguiente manera: el modelo único de cardinalidad κ de una teoría categorial κ contable está saturado.

Sin embargo, la afirmación de que cada modelo tiene una extensión elemental saturada no se puede demostrar en ZFC . De hecho, esta declaración es equivalente a [ cita requerida ] la existencia de una clase apropiada de cardenales κ tal que κ < κ  =  κ . La última identidad es equivalente a κ = λ + = 2 λ para algunos λ , o κ es fuertemente inaccesible .