En matemáticas, el teorema de Maschke , [1] [2] llamado así por Heinrich Maschke , [3] es un teorema en la teoría de representación de grupos que se refiere a la descomposición de representaciones de un grupo finito en piezas irreductibles . El teorema de Maschke permite sacar conclusiones generales sobre las representaciones de un grupo finito G sin realmente calcularlas. Reduce la tarea de clasificar todas las representaciones a una tarea más manejable de clasificar representaciones irreductibles., ya que cuando se aplica el teorema, cualquier representación es una suma directa de piezas irreducibles (constituyentes). Además, del teorema de Jordan-Hölder se deduce que, si bien la descomposición en una suma directa de subrepresentaciones irreducibles puede no ser única, las piezas irreducibles tienen multiplicidades bien definidas . En particular, una representación de un grupo finito sobre un campo de característica cero se determina hasta el isomorfismo por su carácter .
Formulaciones
El teorema de Maschke aborda la pregunta: ¿cuándo se construye una representación general (de dimensión finita) a partir de subrepresentaciones irreducibles utilizando la operación de suma directa ? Esta pregunta (y su respuesta) se formulan de manera diferente para diferentes perspectivas sobre la teoría de la representación de grupos.
Teórico de grupo
El teorema de Maschke se formula comúnmente como corolario del siguiente resultado:
- Teorema. Si V es una representación compleja de un grupo finito G con una subrepresentación W , entonces hay otra subrepresentación U de V tal que V = W ⊕ U . [4] [5]
Entonces el corolario es
- Corolario (teorema de Maschke). Toda representación de un grupo finito G sobre un campo F con característica que no divide el orden de G es una suma directa de representaciones irreductibles. [6] [7]
El espacio vectorial de funciones de clase de valor complejo de un grupo G tiene una estructura de producto interno invariante de G natural , descrita en el artículo Relaciones de ortogonalidad de Schur . El teorema de Maschke se demostró originalmente para el caso de representaciones sobreconstruyendo U como el complemento ortogonal de W bajo este producto interno.
Módulo-teórico
Uno de los enfoques para las representaciones de grupos finitos es a través de la teoría de módulos . Las representaciones de un grupo G son reemplazadas por módulos sobre su álgebra de grupo K [ G ] (para ser precisos, hay un isomorfismo de categorías entre K [ G ] -Mod y Rep G , la categoría de representaciones de G ). Las representaciones irreducibles corresponden a módulos simples . En el lenguaje de la teoría de módulos, el teorema de Maschke pregunta: ¿es un módulo arbitrario semisimple ? En este contexto, el teorema se puede reformular de la siguiente manera:
- Teorema de Maschke. Let G ser un grupo finito y K un campo cuya característica no divide el orden de G . Entonces K [ G ], el álgebra de grupo de G , es semisimple . [8] [9]
La importancia de este resultado proviene de la teoría bien desarrollada de los anillos semisimple, en particular, el teorema de Artin-Wedderburn (a veces denominado teorema de estructura de Wedderburn). Cuando K es el campo de números complejos, esto muestra que el álgebra K [ G ] es un producto de varias copias de álgebras de matrices complejas , una para cada representación irreducible. [10] Si el campo K tiene la característica cero, pero no está algebraicamente cerrado , por ejemplo, K es un campo de números reales o racionales , entonces se cumple una afirmación algo más complicada: el álgebra de grupo K [ G ] es un producto de matriz álgebra sobre anillos de división más de K . Los sumandos corresponden a representaciones irreducibles de G más de K . [11]
Teórico de categorías
Reformulado en el lenguaje de categorías semi-simples , el teorema de Maschke establece
- Teorema de Maschke. Si G es un grupo y F es un campo con característica que no divide el orden de G , entonces la categoría de representaciones de G sobre F es semi-simple.
Pruebas
Teórico de grupo
Vamos U un subespacio de V complemento de W . Dejar ser la función de proyección, es decir, para cualquier .
Definir , dónde es una abreviatura de , con siendo la representación de G en W y V . Luego,se conserva por G bajo representación: para cualquier ,
entonces implica que . Entonces la restricción de en es también una representación.
Por la definición de , para cualquier , , entonces , y para cualquier , . Por lo tanto,, y . Por lo tanto,.
Módulo-teórico
Sea V un submódulo K [ G ]. Demostraremos que V es un sumando directo. Deje π ser cualquier K proyección -linear de K [ G ] en V . Considere el mapa
Entonces φ es nuevamente una proyección: es claramente K- lineal, asigna K [ G ] a V e induce la identidad en V (por lo tanto, asigna K [ G ] a V ). Además tenemos
entonces φ es de hecho K [ G ] -lineal. Por el lema de la división ,. Esto prueba que cada submódulo es un sumando directo, es decir, K [ G ] es semisimple.
Declaración inversa
La prueba anterior depende del hecho de que # G es invertible en K . Esto podría llevar a uno a preguntarse si el inverso del teorema de Maschke también se cumple: si la característica de K divide el orden de G , ¿se sigue que K [ G ] no es semisimple? La respuesta es sí . [12]
Prueba. Para definir . Dejar. Entonces yo es un submódulo K [ G ]. Demostraremos que para cada submódulo no trivial V de K [ G ],. Sea V , y seaser cualquier elemento distinto de cero de V . Si, el reclamo es inmediato. De lo contrario, deja. Luego entonces y
así que eso es un elemento distinto de cero de ambos I y V . Esto prueba que V no es un complemento directo de I para todo V , por lo que K [ G ] no es semisimple.
No ejemplos
El teorema no puede aplicarse al caso donde G es infinito, o cuando el campo K tiene características que dividen a | G |. Por ejemplo,
- Considere el grupo infinito y la representacion definido por . Dejar, un subespacio unidimensional de abarcado por . Entonces la restricción deen W es una subrepresentación trivial de. Sin embargo, no existe una U tal que ambas W, U sean subrepresentaciones de y : cualquier U debe ser unidimensional, pero cualquier subespacio unidimensional conservado por tiene que ser abarcado por autovector para , y el único vector propio para eso es .
- Considere un primo p , y el grupo, campo , y la representación definido por . Los cálculos simples muestran que solo hay un vector propio para aquí, por lo que por el mismo argumento, la subrepresentación 1-dim de es único, y no se puede descomponer en la suma directa de dos subrepresentaciones unidimensionales.
Notas
- ↑ Maschke, Heinrich (22 de julio de 1898). "Ueber den arithmetischen Charakter der Coefficienten der Substitutionen endlicher linearer Sustitucionesgruppen" [Sobre el carácter aritmético de los coeficientes de las sustituciones de grupos de sustitución lineales finitos]. Matemáticas. Ana. (en alemán). 50 (4): 492–498. doi : 10.1007 / BF01444297 . JFM 29.0114.03 . Señor 1511011 .
- ^ Maschke, Heinrich (27 de julio de 1899). "Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftreten, intransitiv sind" [Prueba del teorema de que esos grupos de sustitución lineales finitos, en los que aparecen algunos coeficientes de fuga en todas partes, son intransitivos]. Matemáticas. Ana. (en alemán). 52 (2–3): 363–368. doi : 10.1007 / BF01476165 . JFM 30.0131.01 . Señor 1511061 .
- ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Heinrich Maschke" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
- ^ Fulton y Harris , Proposición 1.5.
- ^ Serre , Teorema 1.
- ^ Fulton y Harris , Corolario 1.6.
- ^ Serre , Teorema 2.
- ^ De ello se deduce que cada módulo sobre K [ G ] es un módulo semisimple.
- ^ El enunciado inverso también es válido: si la característica del campo divide el orden del grupo (el caso modular ), entonces el álgebra de grupo no es semisimple.
- ^ El número de sumandos se puede calcular y resulta ser igual al número de clases de conjugación del grupo.
- ^ Hay que tener cuidado, ya que una representación puede descomponerse de manera diferente en diferentes campos: una representación puede ser irreductible sobre los números reales pero no sobre los números complejos.
- ^ Serre , ejercicio 6.1.
Referencias
- Lang, Serge (8 de enero de 2002). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas , 211 (3ª ed. Revisada). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95385-4. Señor 1878556 . Zbl 0984.00001 .
- Serre, Jean-Pierre (1 de septiembre de 1977). Representaciones lineales de grupos finitos . Textos de Posgrado en Matemáticas , 42 . Nueva York – Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90190-9. Señor 0450380 . Zbl 0355.20006 .
- Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 .