En matemáticas , el lema de Schur [1] es un enunciado elemental pero extremadamente útil en la teoría de la representación de grupos y álgebras . En el caso del grupo, dice que si M y N son dos representaciones irreductibles de dimensión finita de un grupo G y φ es una transformación lineal de M a N que conmuta con la acción del grupo, entonces φ es invertible o φ = 0. Un caso especial importante ocurre cuando M = N y φ es un automapa; en particular, cualquier elemento del centro de un grupo debe actuar como un operador escalar (un múltiplo escalar de la identidad) en M . El lema lleva el nombre de Issai Schur, quien lo usó para probar las relaciones de ortogonalidad de Schur y desarrollar los conceptos básicos de la teoría de la representación de grupos finitos . El lema de Schur admite generalizaciones a grupos de Lie y álgebras de Lie , la más común de las cuales se debe a Jacques Dixmier .
Teoría de la representación de grupos
La teoría de la representación es el estudio de los homomorfismos de un grupo, G , en el grupo lineal general GL (V) de un espacio vectorial V ; es decir, en el grupo de automorfismos de V . (Limitémonos aquí al caso en el que el campo subyacente de V es, El campo de los números complejos). Tal un homomorfismo se llama una representación de G en V . Una representación en V es un caso especial de una acción de grupo en V , pero en lugar de permitir permutaciones arbitrarias del conjunto subyacente de V , nos restringimos a transformaciones lineales invertibles .
Vamos ρ ser una representación de G en V . Puede darse el caso de que V tenga un subespacio , W , tal que para cada elemento g de G , el mapa lineal invertible ρ ( g ) conserve o fije W , de modo que ( ρ ( g )) ( w ) esté en W para cada w en W , y ( ρ ( g )) ( v ) no está en W para cualquier v no en W . En otras palabras, cada mapa lineal ρ ( g ): V → V es también un automorfismo de W , ρ ( g ): W → W , cuando su dominio se limita a W . Decimos W es estable bajo G , o estable bajo la acción de G . Está claro que si tenemos en cuenta W por sí misma como un espacio vectorial, entonces no es una representación evidente de G en W -la representación que obtenemos mediante la restricción de cada mapa ρ ( g ) a W . Cuando W tiene esta propiedad, llame a W con la representación dado una subrepresentación de V . Una representación de G sin subrepresentaciones (aparte de sí mismo y cero) es una representación irreductible . Las representaciones irreductibles, como los números primos o los grupos simples en la teoría de grupos, son los componentes básicos de la teoría de la representación. Muchas de las preguntas y teoremas iniciales de la teoría de la representación tratan de las propiedades de las representaciones irreductibles.
Como estamos interesados en homomorfismos entre grupos, o mapas continuas entre espacios topológicos , estamos interesados en ciertas funciones entre las representaciones de G . Sean V y W espacios vectoriales, y sean y ser representaciones de G en V y W respectivamente. Entonces se define un G -linear mapa f de V a W a ser un mapa lineal de V a W que es equivariante bajo la acción de G ; es decir, por cada g en G ,. En otras palabras, es necesario que f conmuta con la acción de G . G mapas -linear son los morfismos en la categoría de las representaciones de G .
Lema de Schur es un teorema que describe lo que G pueden existir mapas -linear entre dos representaciones irreducibles de G .
Declaración y prueba del lema
Teorema (Lema de Schur) : Sean V y W espacios vectoriales; y deja y ser representaciones irreductibles de G en V y W respectivamente. [2]
- Si y no son isomorfos, entonces no hay mapas lineales G no triviales entre ellos.
- Si de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado (p. ej. ); y si, entonces los únicos mapas lineales G no triviales son la identidad y los múltiplos escalares de la identidad. (Un múltiplo escalar de la identidad a veces se denomina homotecia ) .
Prueba: Supongamoses un mapa lineal G distinto de cero de a . Probaremos que y son isomorfos. Dejar ser el núcleo, o espacio nulo, de en , el subespacio de todos en para cual . (Es fácil comprobar que se trata de un subespacio). Suponiendo quees G- lineal, para cada en y elección de en . Pero diciendo eso es lo mismo que decir que está en el espacio nulo de . Entonceses estable bajo la acción de G ; es una subrepresentación. Dado que por suposición es irreductible, debe ser cero; entonces es inyectable.
Por un argumento idéntico mostraremos también es sobreyectiva; desde, podemos concluir que para la elección arbitraria de en el rango de , envía en algún otro lugar en el rango de ; en particular lo envía a la imagen de. Entonces el rango de es un subespacio de estable bajo la acción de , por lo que es una subrepresentación y debe ser cero o sobreyectiva. Por supuesto, no es cero, por lo que es sobreyectivo, en cuyo caso es un isomorfismo.
En caso de que de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado y tienen la misma representación, sea ser un valor propio de . (Existe un valor propio para cada transformación lineal en un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado).. Entonces sí es un vector propio de correspondiente a . Está claro quees un G mapa -linear, porque la suma o diferencia de G -linear mapas es también G -linear. Luego volvemos al argumento anterior, donde usamos el hecho de que un mapa era G- lineal para concluir que el núcleo es una subrepresentación y, por lo tanto, es cero o igual a todos los; porque no es cero (contiene) debe ser todo de V y así es trivial, entonces .
Formulación en el lenguaje de los módulos
Si M y N son dos módulos simples sobre un anillo R , entonces cualquier homomorfismo f : M → N de R -modules es invertible o cero. [3] En particular, el anillo de endomorfismo de un módulo simple es un anillo de división . [4]
La condición de que f sea un homomorfismo de módulo significa que
La versión de grupo es un caso especial de la versión del módulo, ya que cualquier representación de un grupo G equivalentemente puede ser visto como un módulo sobre el anillo de grupo de G .
El lema de Schur se aplica con frecuencia en el siguiente caso particular. Supongamos que R es un álgebra sobre un campo k y el espacio vectorial M = N es un módulo sencillo de R . Entonces, el lema de Schur dice que el anillo de endomorfismo del módulo M es un álgebra de división sobre el campo k . Si M es de dimensión finita, este álgebra de división es de dimensión finita. Si k es el campo de números complejos, la única opción es que este álgebra de división sea los números complejos. Por tanto, el anillo de endomorfismo del módulo M es "lo más pequeño posible". En otras palabras, las únicas transformaciones lineales de M que conmutan con todas las transformaciones provenientes de R son múltiplos escalares de la identidad.
Esto es válido de manera más general para cualquier álgebra. sobre un campo algebraicamente cerrado incontable y para cualquier módulo simple que es, como mucho, numerablemente dimensional: las únicas transformaciones lineales de que viajan con todas las transformaciones provenientes de son múltiplos escalares de la identidad.
Cuando el campo no está cerrado algebraicamente, el caso en el que el anillo de endomorfismo es lo más pequeño posible sigue siendo de particular interés. Un módulo simple sobre un-se dice que el álgebra es absolutamente simple si su anillo de endomorfismo es isomorfo a. En general, esto es más fuerte que ser irreductible en el campo., e implica que el módulo es irreducible incluso sobre el cierre algebraico de . [ cita requerida ]
Representaciones de grupos de Lie y álgebras de Lie
A continuación, describimos el lema de Schur como suele expresarse en el contexto de las representaciones de grupos de Lie y álgebras de Lie. El resultado consta de tres partes. [5]
Primero, suponga que y son representaciones irreductibles de un grupo de Lie o álgebra de Lie sobre cualquier campo y que es un mapa entrelazado . Luego es cero o un isomorfismo.
Segundo, si es una representación irreducible de un grupo de Lie o álgebra de Lie sobre un campo algebraicamente cerrado y es un mapa entrelazado, entonces es un múltiplo escalar del mapa de identidad.
Tercero, suponga y son representaciones irreductibles de un grupo de Lie o álgebra de Lie sobre un campo algebraicamente cerrado yson mapas entrelazados distintos de cero . Luego para algunos escalares .
Como simple corolario de la segunda afirmación es que toda representación compleja e irreducible de un grupo abeliano es unidimensional.
Aplicación al elemento Casimir
Suponer es un álgebra de mentira y es el álgebra envolvente universal de. Dejar ser una representación irreductible de sobre un campo algebraicamente cerrado. La propiedad universal del álgebra envolvente universal asegura que se extiende a una representación de actuando sobre el mismo espacio vectorial. De la segunda parte del lema de Schur se deduce que si pertenece al centro de , luego debe ser un múltiplo del operador de identidad. En el caso cuando es un álgebra de Lie semisimple compleja, un ejemplo importante de la construcción anterior es aquella en la que es el elemento Casimir (cuadrático) . En este caso,, dónde es una constante que se puede calcular explícitamente en términos del mayor peso de . [6] La acción del elemento Casimir juega un papel importante en la prueba de reducibilidad completa para representaciones de dimensión finita de álgebras de Lie semisimples. [7]
Véase también complemento de Schur .
Generalización a módulos no simples
La versión de un módulo del lema de Schur admite generalizaciones que involucran módulos M que no son necesariamente simples. Expresan relaciones entre las propiedades del módulo de teoría de M y las propiedades del anillo de endomorfismos de M .
Se dice que un módulo es fuertemente indecomponible si su anillo de endomorfismo es un anillo local . Para la clase importante de módulos de longitud finita , las siguientes propiedades son equivalentes ( Lam 2001 , §19):
- Un módulo M es indescomponible ;
- M es fuertemente indecomponible;
- Todo endomorfismo de M es nilpotente o invertible.
En general, el lema de Schur no se puede revertir: existen módulos que no son simples, pero su álgebra de endomorfismo es un anillo de división . Dichos módulos son necesariamente indecomponibles y, por lo tanto, no pueden existir sobre anillos semi-simples como el anillo de grupo complejo de un grupo finito. Sin embargo, incluso sobre el anillo de números enteros , el módulo de números racionales tiene un anillo de endomorfismo que es un anillo de división, específicamente el campo de los números racionales. Incluso para anillos de grupo, hay ejemplos en los que la característica del campo divide el orden del grupo: el radical de Jacobson de la cobertura proyectiva de la representación unidimensional del grupo alterno en cinco puntos sobre el campo con tres elementos tiene el campo con tres elementos como anillo de endomorfismo.
Ver también
- Lema de Quillen
Notas
- ↑ Issai Schur (1905) "Neue Begründung der Theorie der Gruppencharaktere" (Nueva base para la teoría de los caracteres grupales), Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , páginas 406-432.
- ^ JP Serre, (1977) "Representaciones lineales de grupos finitos", página 13
- ↑ ( Sengupta , 2012 , p. 126)
- ^ Lam (2001), p. 33 .
- ^ Teorema 4.29 de Hall 2015
- ^ Salón 2015 Proposición 10.6
- ^ Salón 2015 Sección 10.3
Referencias
- Dummit, David S .; Foote, Richard M. (1999). Álgebra abstracta (2ª ed.). Nueva York: Wiley. pag. 337. ISBN 0-471-36857-1.
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Lam, Tsit-Yuen (2001). Un primer curso en anillos no conmutativos . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95325-0.
- Sengupta, Ambar (2012). Representación de grupos finitos: una introducción semisimple . Nueva York. doi : 10.1007 / 978-1-4614-1231-1_8 . ISBN 9781461412311. OCLC 769756134 .
- Shtern, AI; Lomonosov, VI (2001) [1994], "Schur lemma" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press