Declaración intrínseca
El espacio de funciones de clase de valor complejo de un grupo finito G tiene un producto interno natural :
dónde significa el complejo conjugado del valor de en g . Con respecto a este producto interno, los caracteres irreducibles forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase, y esto produce la relación de ortogonalidad para las filas de la tabla de caracteres:
Para , aplicando el mismo producto interno a las columnas de la tabla de caracteres se obtiene:
donde la suma está sobre todos los caracteres irreductibles de G y el símbolodenota el orden del centralizador de. Tenga en cuenta que dado que g y h son conjugados si están en la misma columna de la tabla de caracteres, esto implica que las columnas de la tabla de caracteres son ortogonales.
Las relaciones de ortogonalidad pueden ayudar a muchos cálculos, incluidos:
- descomponer un carácter desconocido como una combinación lineal de caracteres irreducibles;
- construir la tabla de caracteres completa cuando solo se conocen algunos de los caracteres irreducibles;
- encontrar las órdenes de los centralizadores de representantes de las clases de conjugación de un grupo; y
- encontrar el orden del grupo.
Declaración de coordenadas
Dejar ser un elemento matricial de una representación matricial irreducible de un grupo finito de orden | G |, es decir, G tiene | G | elementos. Dado que se puede probar que cualquier representación matricial de cualquier grupo finito es equivalente a una representación unitaria , asumimos es unitario:
dónde es la dimensión (finita) de la representación irreductible . [1]
Las relaciones de ortogonalidad , solo válidas para elementos matriciales de representaciones irreductibles , son:
Aquí es el complejo conjugado de y la suma es sobre todos los elementos de G . El delta de Kronecker es la unidad si las matrices están en la misma representación irreductible . Si y son no equivalentes es cero. Los otros dos delta de Kronecker afirman que los índices de fila y columna deben ser iguales ( y ) para obtener un resultado que no desaparezca. Este teorema también se conoce como el Gran (o Gran) Teorema de la ortogonalidad.
Cada grupo tiene una representación de identidad (todos los elementos del grupo se asignan al número real 1). Esta es una representación irreductible. Las grandes relaciones de ortogonalidad implican inmediatamente que
por y cualquier representación irreductible no igual a la representación de la identidad.
Ejemplo del grupo de permutación en 3 objetos
¡Los 3! las permutaciones de tres objetos forman un grupo de orden 6, comúnmente denominado S 3 ( grupo simétrico ). Este grupo es isomorfo al grupo de puntos , que consta de un eje de rotación triple y tres planos de espejo verticales. Los grupos tienen una representación irreductible bidimensional ( l = 2). En el caso de S 3 se suele etiquetar esta representación con el cuadro de Young y en el caso de uno suele escribir . En ambos casos, la representación consta de las siguientes seis matrices reales, cada una de las cuales representa un solo elemento de grupo: [2]
La normalización del elemento (1,1):
De la misma manera se puede mostrar la normalización de los otros elementos de la matriz: (2,2), (1,2) y (2,1). La ortogonalidad de los elementos (1,1) y (2,2):
Relaciones similares son válidas para la ortogonalidad de los elementos (1,1) y (1,2), etc. Se verifica fácilmente en el ejemplo que todas las sumas de los elementos correspondientes de la matriz desaparecen debido a la ortogonalidad de la representación irreducible dada a la representación de identidad. .
Implicaciones directas
La traza de una matriz es una suma de elementos matriciales diagonales,
La colección de rastros es el personaje de una representación. A menudo se escribe para el rastro de una matriz en una representación irreductible con carácter
En esta notación podemos escribir varias fórmulas de caracteres:
lo que nos permite comprobar si una representación es irreductible o no. (La fórmula significa que las líneas en cualquier tabla de caracteres deben ser vectores ortogonales). Y
que nos ayuda a determinar con qué frecuencia la representación irreductible está contenido dentro de la representación reducible con carácter .
Por ejemplo, si
y el orden del grupo es
entonces la cantidad de veces que está contenido dentro de la representación reducible dada es
Consulte Teoría de personajes para obtener más información sobre personajes grupales.
La generalización de las relaciones de ortogonalidad de grupos finitos a grupos compactos (que incluyen grupos de Lie compactos como SO (3)) es básicamente simple: Reemplace la suma sobre el grupo por una integración sobre el grupo.
Cada grupo compacto tiene una medida de Haar bi-invariante única , por lo que el volumen del grupo es 1. Denote esta medida por. Dejar ser un conjunto completo de representaciones irreductibles de , y deja ser un coeficiente matricial de la representación. Las relaciones de ortogonalidad se pueden establecer en dos partes:
1) Si luego
2) Si es una base ortonormal del espacio de representación luego
dónde es la dimensión de . Estas relaciones de ortogonalidad y el hecho de que todas las representaciones tienen dimensiones finitas son consecuencias del teorema de Peter-Weyl .
Un ejemplo SO (3)
Un ejemplo de un grupo de parámetros r = 3 es el grupo de matrices SO (3) que consta de todas las matrices ortogonales de 3 x 3 con determinante unitario. Una posible parametrización de este grupo es en términos de ángulos de Euler:(ver, por ejemplo, este artículo para la forma explícita de un elemento de SO (3) en términos de ángulos de Euler). Los límites son y .
No solo la receta para el cálculo del elemento de volumen depende de los parámetros elegidos, pero también del resultado final, es decir, la forma analítica de la función de peso (medida) .
Por ejemplo, la parametrización del ángulo de Euler de SO (3) da el peso mientras que la parametrización n, ψ da el peso con
Se puede demostrar que las representaciones matriciales irreductibles de los grupos de Lie compactos son de dimensión finita y se pueden elegir para que sean unitarias:
Con la notación taquigráfica
las relaciones de ortogonalidad toman la forma
con el volumen del grupo:
Como ejemplo, observamos que las representaciones irreductibles de SO (3) son matrices D de Wigner , que son de dimensión . Desde
ellos satisfacen