En el área matemática de la teoría de grupos , los grupos de cobertura de los grupos alternos y simétricos son grupos que se utilizan para comprender las representaciones proyectivas de los grupos alternos y simétricos . Los grupos de cobertura se clasificaron en ( Schur 1911 ): para n ≥ 4 , los grupos de cobertura son cubiertas de 2 pliegues excepto para los grupos alternos de grado 6 y 7 donde las cubiertas son de 6 pliegues.
Por ejemplo, el grupo icosaédrico binario cubre el grupo icosaédrico , un grupo alterno de grado 5, y el grupo tetraédrico binario cubre el grupo tetraédrico , un grupo alterno de grado 4.
Definición y clasificación
Se dice que un homomorfismo de grupo de D a G es una cobertura de Schur del grupo finito G si:
- el núcleo está contenido tanto en el centro como en el subgrupo de conmutadores de D , y
- entre todos estos homomorfismos, esta D tiene el tamaño máximo.
El multiplicador de Schur de G es el núcleo de cualquier portada de Schur y tiene muchas interpretaciones. Cuando se entiende el homomorfismo, el grupo D a menudo se denomina cubierta de Schur o Darstellungsgruppe.
Las cubiertas de Schur de los grupos simétrico y alterno se clasificaron en ( Schur 1911 ). El grupo simétrico de grado n ≥ 4 tiene dos clases de isomorfismo de cubiertas de Schur, ambas de orden 2⋅ n !, Y el grupo alterno de grado n tiene una clase de isomorfismo de cubierta de Schur, que tiene orden n ! excepto cuando n es 6 o 7, en cuyo caso la tapa Schur tiene el orden 3⋅ n !.
Presentaciones finitas
Las cubiertas de Schur se pueden describir utilizando presentaciones finitas . El grupo simétrico S n tiene una presentación en n −1 generadores t i para i = 1, 2, ..., n − 1 y relaciones
- t i t i = 1, para 1 ≤ i ≤ n −1
- t yo +1 t yo t yo +1 = t yo t yo +1 t yo , para 1 ≤ yo ≤ n −2
- t j t yo = t yo t j , para 1 ≤ i < i +2 ≤ j ≤ n −1.
Estas relaciones se pueden utilizar para describir dos cubiertas no isomorfas del grupo simétrico. Un grupo de coberturatiene generadores z , t 1 , ..., t n −1 y relaciones:
- zz = 1
- t i t i = z , para 1 ≤ i ≤ n −1
- t yo +1 t yo t yo +1 = t yo t yo +1 t yo , para 1 ≤ yo ≤ n −2
- t j t yo = t yo t j z , para 1 ≤ yo < yo +2 ≤ j ≤ n −1.
El mismo grupo se puede dar la siguiente presentación usando los generadores de z y s i dado por t i o t i z según que i es par o impar:
- zz = 1
- s i s i = z , para 1 ≤ i ≤ n −1
- s i +1 s i s i +1 = s i s i +1 s i z , para 1 ≤ i ≤ n −2
- s j s yo = s yo s j z , para 1 ≤ yo < yo +2 ≤ j ≤ n −1.
El otro grupo de cobertura tiene generadores z , t 1 , ..., t n −1 y relaciones:
- zz = 1, zt yo = t yo z , para 1 ≤ yo ≤ n −1
- t i t i = 1, para 1 ≤ i ≤ n −1
- t yo +1 t yo t yo +1 = t yo t yo +1 t yo z , para 1 ≤ yo ≤ n −2
- t j t yo = t yo t j z , para 1 ≤ yo < yo +2 ≤ j ≤ n −1.
El mismo grupo se puede dar la siguiente presentación usando los generadores de z y s i dado por t i o t i z según que i es par o impar:
- zz = 1, zs i = s i z , para 1 ≤ i ≤ n −1
- s i s i = 1, para 1 ≤ i ≤ n −1
- s i +1 s i s i +1 = s i s i +1 s i , para 1 ≤ i ≤ n −2
- s j s yo = s yo s j z , para 1 ≤ yo < yo +2 ≤ j ≤ n −1.
A veces, todas las relaciones del grupo simétrico se expresan como ( t i t j ) m ij = 1, donde m ij son números enteros no negativos, es decir, m ii = 1, m i , i +1 = 3 y m ij = 2, para 1 ≤ i < i +2 ≤ j ≤ n −1. La presentación dese vuelve particularmente simple en esta forma: ( t i t j ) m ij = z , y zz = 1. El grupo Tiene la linda propiedad de que todos sus generadores tienen orden 2.
Representaciones proyectivas
Issai Schur introdujo los grupos de cobertura para clasificar las representaciones proyectivas de grupos. Una representación lineal (compleja) de un grupo G es un homomorfismo de grupo G → GL ( n , C ) del grupo G a un grupo lineal general , mientras que una representación proyectiva es un homomorfismo G → PGL ( n , C ) de G a un grupo lineal proyectivo . Representaciones proyectivas de G corresponden naturalmente a representaciones lineales del grupo cubierta de G .
Las representaciones proyectivas de grupos alternos y simétricos son el tema del libro ( Hoffman & Humphreys 1992 ).
Homología integral
Los grupos de cobertura corresponden al segundo grupo de homología de grupo, H 2 ( G , Z ), también conocido como multiplicador de Schur . Los multiplicadores de Schur de los grupos alternos A n (en el caso de que n sea al menos 4) son los grupos cíclicos de orden 2, excepto en el caso de que n sea 6 o 7, en cuyo caso también hay una triple cobertura. En estos casos, entonces, el multiplicador de Schur es el grupo cíclico de orden 6, y el grupo de cobertura es una cobertura de 6 veces.
- H 2 ( A n , Z ) = 0 para n ≤ 3
- H 2 ( A n , Z ) = Z / 2 Z para n = 4, 5
- H 2 ( A n , Z ) = Z / 6 Z para n = 6, 7
- H 2 ( A n , Z ) = Z / 2 Z para n ≥ 8
Para el grupo simétrico, el multiplicador de Schur desaparece para n ≤ 3, y es el grupo cíclico de orden 2 para n ≥ 4:
- H 2 ( S n , Z ) = 0 para n ≤ 3
- H 2 ( S n , Z ) = Z / 2 Z para n ≥ 4
Construcción de cubiertas dobles
Las cubiertas dobles pueden construirse como cubiertas de espín (respectivamente, pin) de representaciones lineales fieles, irreductibles de A n y S n . Estas representaciones de espín existen para todo n, pero son los grupos de cobertura solo para n≥4 (n ≠ 6,7 para A n ). Para n ≤3, S n y A n son sus propias cubiertas Schur.
Explícitamente, S n actúa sobre el espacio n -dimensional R n permutando coordenadas (en matrices, como matrices de permutación ). Esto tiene una subrepresentación trivial unidimensional correspondiente a vectores con todas las coordenadas iguales, y la subrepresentación complementaria ( n −1) -dimensional (de vectores cuyas coordenadas suman 0) es irreducible para n≥4. Geométricamente, estas son las simetrías del ( n −1) - simplex , y algebraicamente, produce mapas y expresando estos como subgrupos discretos ( grupos de puntos ). El grupo ortogonal especial tiene una cubierta doble por el grupo de giro. y restringiendo esta portada a y al tomar la preimagen se obtiene una portada doble Una construcción similar con un grupo de pines produce la cubierta doble del grupo simétrico:Como hay dos grupos de pines, hay dos cubiertas dobles distintas del grupo simétrico, 2⋅ S n ± , también llamado y .
Construcción de triple cubierta para n = 6, 7
La triple cobertura de denotado y la correspondiente triple portada de denotado se puede construir como simetrías de un cierto conjunto de vectores en un complejo 6-espacio. Mientras que las excepcionales cubiertas triples de A 6 y A 7 se extienden a extensiones de S 6 y S 7 , estas extensiones no son centrales y, por lo tanto, no forman cubiertas Schur.
Esta construcción es importante en el estudio de los grupos esporádicos , y en gran parte del comportamiento excepcional de pequeños grupos clásicos y excepcionales, incluyendo: construcción del grupo Mathieu M 24 , las cubiertas excepcionales del grupo unitario proyectivo y el grupo lineal especial proyectivo y la excepcional doble portada del grupo de tipo Lie
Isomorfismos excepcionales
Para dimensiones bajas hay isomorfismos excepcionales con el mapa de un grupo lineal especial sobre un campo finito al grupo lineal especial proyectivo .
Para n = 3, el grupo simétrico es SL (2,2) ≅ PSL (2,2) y es su propia cubierta de Schur.
Para n = 4, la cobertura de Schur del grupo alterno viene dada por SL (2,3) → PSL (2,3) ≅ A 4 , que también se puede considerar como el grupo tetraédrico binario que cubre el grupo tetraédrico . De manera similar, GL (2,3) → PGL (2,3) ≅ S 4 es una cobertura de Schur, pero hay una segunda cobertura de Schur no isomorfa de S 4 contenida en GL (2,9) - tenga en cuenta que 9 = 3 2 por lo que esta es la extensión de los escalares de GL (2,3). En cuanto a las presentaciones anteriores, GL (2,3) ≅ Ŝ 4 .
Para n = 5, la cobertura de Schur del grupo alterno viene dada por SL (2,5) → PSL (2,5) ≅ A 5 , que también se puede considerar como el grupo icosaédrico binario que cubre el grupo icosaédrico . Aunque PGL (2,5) ≅ S 5 , GL (2,5) → PGL (2,5) no es una cobertura de Schur ya que el núcleo no está contenido en el subgrupo derivado de GL (2,5). La cobertura de Schur de PGL (2,5) está contenida en GL (2,25) - como antes, 25 = 5 2 , por lo que esto extiende los escalares.
Para n = 6, la doble cobertura del grupo alterno viene dada por SL (2,9) → PSL (2,9) ≅ A 6 . Mientras que PGL (2,9) está contenido en el grupo de automorfismo PΓL (2,9) de PSL (2,9) ≅ A 6 , PGL (2,9) no es isomorfo a S 6 , y sus cubiertas de Schur (que son cubiertas dobles) no están contenidas ni en un cociente de GL (2,9). Tenga en cuenta que en casi todos los casos,con la única excepción de A 6 , debido al excepcional automorfismo exterior de A 6 . Otro subgrupo del grupo de automorfismos de A 6 es M 10 , el grupo de Mathieu de grado 10, cuya cubierta de Schur es una cubierta triple. Las cubiertas de Schur del grupo simétrico S 6 en sí no tienen representaciones fieles como un subgrupo de GL ( d , 9) para d ≤3. Las cuatro cubiertas Schur del grupo de automorfismos PΓL (2,9) de A 6 son cubiertas dobles.
Para n = 8, el grupo alterno A 8 es isomorfo a SL (4,2) = PSL (4,2), por lo que SL (4,2) → PSL (4,2), que es 1 a 1 , no 2 a 1, no es una portada de Schur.
Propiedades
Las cubiertas de Schur de grupos perfectos finitos son superperfectas , es decir, su primera y segunda homología integral desaparecen. En particular, las cubiertas dobles de A n para n ≥ 4 son super perfectas, excepto para n = 6, 7, y las cubiertas de seis pliegues de A n son superperfectas para n = 6, 7.
Como extensiones del tallo de un grupo simple, los grupos de cobertura de A n son grupos cuasimplejos para n ≥ 5.
Referencias
- Hoffman, PN; Humphreys, John F. (1992), Representaciones proyectivas de los grupos simétricos , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853556-0, MR 1205350
- Schur, J. (1911), "Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 139 : 155-250, doi : 10.1515 / crll.1911.139.155 , JFM 42.0154 .02
- Schur, J. (2001), "Sobre la representación de los grupos simétricos y alternos mediante sustituciones lineales fraccionarias", International Journal of Theoretical Physics , 40 (1): 413–458, doi : 10.1023 / A: 1003772419522 , ISSN 0020- 7748 , MR 1820589 , Zbl 0969.20002 (traducción de ( Schur 1911 ) por Marc-Felix Otto)CS1 maint: posdata ( enlace )
- Wilson, Robert (31 de octubre de 2006), "Capítulo 2: Grupos alternos" , Los grupos simples finitos , archivado desde el original el 22 de mayo de 2011, 2.7: Grupos de coberturaCS1 maint: posdata ( enlace )