En geometría , una sectriz de Maclaurin se define como la curva barrida por el punto de intersección de dos líneas, cada una de las cuales gira a tasas constantes alrededor de diferentes puntos llamados polos . De manera equivalente, una sectriz de Maclaurin se puede definir como una curva cuya ecuación en coordenadas biangulares es lineal. El nombre se deriva de la trisectriz de Maclaurin (llamada así por Colin Maclaurin ), que es un miembro prominente de la familia, y su propiedad sectrix , lo que significa que se pueden usar para dividir un ángulo en un número determinado de partes iguales. Hay casos especiales que también se conocen como arachnida o araneidans.debido a su forma de araña , y Plateau se curva después de Joseph Plateau que los estudió.
Sectriz de Maclaurin: ejemplo con q0 = PI / 2 y K = 3
Ecuaciones en coordenadas polaresSe nos dan dos líneas que giran alrededor de dos polos. y . Por traslación y rotación podemos asumir y . En el momento, la línea girando sobre tiene ángulo y la línea girando tiene ángulo , dónde , , y son constantes. Eliminar Llegar dónde y . Asumimoses racional, de lo contrario la curva no es algebraica y es densa en el plano. Dejar ser el punto de intersección de las dos líneas y dejar ser el ángulo en , entonces . Si es la distancia desde a entonces, por la ley de los senos ,
entonces
es la ecuación en coordenadas polares.
El caso y dónde es un número entero mayor que 2 da curvas de arácnido o araneidan
El caso y dónde es un número entero mayor que 1 da formas alternativas de arácnido o curvas de araneidan
Una derivación similar a la anterior da
como la ecuación polar (en y ) si el origen se desplaza a la derecha por . Tenga en cuenta que esta es la ecuación anterior con un cambio de parámetros; esto es de esperar por el hecho de que dos polos son intercambiables en la construcción de la curva.
Ecuaciones en el plano complejo, coordenadas rectangulares y trayectorias ortogonalesEcuaciones paramétricasDejar dónde y son enteros, y dejemos dónde es un parámetro. Luego, convertir la ecuación polar anterior a ecuaciones paramétricas produce
- .
La aplicación de la regla de la suma de ángulos para el seno produce
- .
Entonces, si el origen se desplaza hacia la derecha por a / 2, entonces las ecuaciones paramétricas son
- .
Estas son las ecuaciones para las curvas Plateau cuando , o
- .
Trillizos inversoresLa inversa con respecto al círculo de radio ay centro en el origen de
es
- .
Esta es otra curva en la familia. La inversa con respecto al otro polo produce otra curva más en la misma familia y las dos inversas son a su vez inversas entre sí. Por lo tanto, cada curva de la familia es miembro de un triple, cada uno de los cuales pertenece a la familia y es inverso de los otros dos. Los valores de q en esta familia son
- .
Propiedades de SectrixDejar dónde y son enteros en términos mínimos y suponen es construible con brújula y regla . (El valor de es generalmente 0 en la práctica, por lo que normalmente no es un problema). ser un ángulo dado y supongamos que la sectriz de Maclaurin ha sido dibujada con postes y de acuerdo con la construcción anterior. Construye un rayo de en ángulo y deja ser el punto de intersección del rayo y la sectriz y dibujar . Si es el ángulo de esta línea entonces
entonces . Restando repetidamente y entre sí como en el algoritmo euclidiano , el ángulose puede construir. Por lo tanto, la curva es una m -sectrix, lo que significa que con la ayuda de la curva se puede dividir un ángulo arbitrario por cualquier número entero. Esta es una generalización del concepto de trisectriz y se encontrarán ejemplos a continuación.
Ahora dibuja un rayo con ángulo de y ser el punto de intersección de este rayo con la curva. El ángulo de es
y restando da un ángulo de
- .
Al aplicar el algoritmo euclidiano nuevamente se obtiene un ángulo de mostrando que la curva también es una n -sectriz.
Finalmente, dibuja un rayo de con angulo y un rayo de con angulo , y deja ser el punto de intersección. Este punto está en la bisectriz perpendicular de entonces hay un círculo con centro conteniendo y . por lo que cualquier punto del círculo forma un ángulo de Entre y . (Este es, de hecho, uno de los círculos apolíneos de P y P ' .) Seaser el punto de intersección de este círculo y la curva. Luego entonces
- .
La aplicación de un algoritmo euclidiano por tercera vez da un ángulo de , mostrando que la curva es también una ( m - n ) -sectriz.
Casos específicosq = 0
Esta es la curva
que es la línea a través de
q = 1
Este es un círculo que contiene el origen y . Tiene ecuación polar
- .
Es la inversa con respecto al origen del caso q = 0. Las trayectorias ortogonales de la familia de círculos es la familiaEstos forman los círculos apolíneos con polos. y .
q = -1
Estas curvas tienen ecuación polar
- ,
ecuación compleja En coordenadas rectangulares esto se convierte en que es una cónica. De la ecuación polar es evidente que las curvas tienen asíntotas en y que están en ángulos rectos. Entonces, las cónicas son, de hecho, hipérbolas rectangulares. El centro de la hipérbola es siempre. Las trayectorias ortogonales de esta familia están dadas porque es la familia de óvalos de Cassini con focos y .
Trisectriz de Maclaurin
En el caso donde (o cambiando los polos) y , la ecuación es
- .
Esta es la Trisectrix de Maclaurin que es un caso específico cuya generalización es la sectrix de Maclaurin. La construcción anterior proporciona un método por el que esta curva se puede utilizar como trisectriz.
Limaçon trisectrix y rosa
En el caso donde (o cambiando los polos) y , la ecuación es
- .
Esta es la trisectriz de Limaçon .
La ecuación que toma el origen como el otro polo es la curva rosa que tiene la misma forma.
- .
El 3 en el numerador de qy la construcción anterior dan un método por el que la curva puede usarse como trisectriz.
Referencias