En geometría inversiva , una curva inversa de una curva dada C es el resultado de la aplicación de una inversa operación para C . Específicamente, con respecto a un círculo fijo con centro O y radio k, la inversa de un punto Q es el punto P para el cual P se encuentra en el rayo OQ y OP · OQ = k 2 . La inversa de la curva C es entonces el locus de P como Q corre sobre C . El punto Oen esta construcción se llama el centro de inversión , el círculo de la circunferencia de inversión , y k el radio de inversión .
Una inversión aplicada dos veces es la transformación de identidad, por lo que la inversa de una curva inversa con respecto al mismo círculo es la curva original. Los puntos en el círculo de inversión están fijados por la inversión, por lo que su inverso es él mismo.
Ecuaciones
La inversa del punto ( x , y ) con respecto al círculo unitario es ( X , Y ) donde
o equivalente
Entonces, la inversa de la curva determinada por f ( x , y ) = 0 con respecto al círculo unitario es
De esto se desprende claramente que la inversión de una curva algebraica de grado n con respecto a un círculo produce una curva algebraica de grado como máximo 2 n .
De manera similar, la inversa de la curva definida paramétricamente por las ecuaciones
con respecto al círculo unitario se da paramétricamente como
Esto implica que la inversa circular de una curva racional también es racional.
De manera más general, la inversa de la curva determinada por f ( x , y ) = 0 con respecto al círculo con centro ( a , b ) y radio k es
La inversa de la curva definida paramétricamente por
con respecto al mismo círculo se da paramétricamente como
En coordenadas polares , las ecuaciones son más simples cuando el círculo de inversión es el círculo unitario. La inversa del punto ( r , θ ) con respecto al círculo unitario es ( R , Θ ) donde
Entonces, la inversa de la curva f ( r , θ ) = 0 está determinada por f (1/R, Θ ) = 0 y la inversa de la curva r = g ( θ ) es r = 1/g ( θ ).
Grados
Como se señaló anteriormente, la inversa con respecto a un círculo de una curva de grado n tiene un grado como máximo 2 n . El grado es exactamente 2 n a menos que la curva original pase por el punto de inversión o sea circular , lo que significa que contiene los puntos circulares, (1, ± i , 0) , cuando se considera una curva en el plano proyectivo complejo. En general, la inversión con respecto a una curva arbitraria puede producir una curva algebraica con un grado proporcionalmente mayor.
Específicamente, si C es p -circular de grado n , y si el centro de inversión es una singularidad de orden q en C , entonces la curva inversa será una curva ( n - p - q ) -circular de grado 2 n - 2 p - q y el centro de inversión es una singularidad de orden n - 2 p en la curva inversa. Aquí q = 0 si la curva no contiene el centro de inversión yq = 1 si el centro de inversión es un punto no singular en ella; Del mismo modo los puntos circulares, (1, ± i , 0) , son singularidades de orden p en C . El valor k puede eliminarse de estas relaciones para mostrar que el conjunto de p -curvas circulares de grado p + k , donde p puede variar pero k es un entero positivo fijo, es invariante bajo inversión.
Ejemplos de
Aplicando la transformación anterior a la lemniscata de Bernoulli
Nos da
la ecuación de una hipérbola; dado que la inversión es una transformación biracional y la hipérbola es una curva racional, esto muestra que la lemniscata también es una curva racional, es decir, una curva de género cero.
Si aplicamos la transformación a la curva de Fermat x n + y n = 1 , donde n es impar, obtenemos
Cualquier punto racional en la curva de Fermat tiene un punto racional correspondiente en esta curva, dando una formulación equivalente del último teorema de Fermat .
Casos particulares
Para simplificar, el círculo de inversión en los siguientes casos será el círculo unitario. Los resultados de otros círculos de inversión se pueden encontrar mediante la traslación y ampliación de la curva original.
Líneas
Para una línea que pasa por el origen, la ecuación polar es θ = θ 0 donde θ 0 es fijo. Esto permanece sin cambios bajo la inversión.
La ecuación polar para una línea que no pasa por el origen es
y la ecuación de la curva inversa es
que define un círculo que pasa por el origen. Aplicar la inversión nuevamente muestra que la inversa de un círculo que pasa por el origen es una línea.
Círculos
En coordenadas polares, la ecuación general para un círculo que no pasa por el origen (los otros casos han sido cubiertos) es
donde a es el radio y ( r 0 , θ 0 ) son las coordenadas polares del centro. La ecuación de la curva inversa es entonces
o
Esta es la ecuación de un círculo con radio
y centro cuyas coordenadas polares son
Tenga en cuenta que R 0 puede ser negativo.
Si el círculo original se cruza con el círculo unitario, entonces los centros de los dos círculos y un punto de intersección forman un triángulo con lados 1, a , r 0 este es un triángulo rectángulo, es decir, los radios están en ángulos rectos, exactamente cuando
Pero a partir de las ecuaciones anteriores, el círculo original es el mismo que el círculo inverso exactamente cuando
Entonces, la inversa de un círculo es el mismo círculo si y solo si se cruza con el círculo unitario en ángulos rectos.
Para resumir y generalizar esta y la sección anterior:
- La inversa de una línea o un círculo es una línea o un círculo.
- Si la curva original es una línea, la curva inversa pasará por el centro de inversión. Si la curva original pasa por el centro de inversión, entonces la curva invertida será una línea.
- La curva invertida será la misma que la original exactamente cuando la curva se cruce con el círculo de inversión en ángulos rectos.
Parábolas con centro de inversión en el vértice
La ecuación de una parábola es, hasta semejanza, trasladar de modo que el vértice esté en el origen y rotar de modo que el eje sea horizontal, x = y 2 . En coordenadas polares esto se convierte en
La curva inversa tiene entonces la ecuación
que es el cissoide de Diocles .
Secciones cónicas con centro de inversión en un foco
La ecuación polar de una sección cónica con un foco en el origen es, hasta la similitud
donde e es la excentricidad. La inversa de esta curva será entonces
que es la ecuación de una limaçon de Pascal . Cuando e = 0 este es el círculo de inversión. Cuando 0 < e <1, la curva original es una elipse y la inversa es una curva cerrada simple con un nodo en el origen. Cuando e = 1 la curva original es una parábola y la inversa es el cardioide que tiene una cúspide en el origen. Cuando e > 1 la curva original es una hipérbola y la inversa forma dos bucles con una cruzada en el origen.
Elipses e hipérbolas con centro de inversión en un vértice
La ecuación general de una elipse o hipérbola es
Traducir esto para que el origen sea uno de los vértices da
y reorganizar da
o, cambiando constantes,
Tenga en cuenta que por encima de parábola ahora encaja en este esquema, poniendo c = 0 y d = 1 . La ecuación de la inversa es
o
Esta ecuación describe una familia de curvas llamadas concoides de de Sluze . Esta familia incluye, además del cissoide de Diocles mencionado anteriormente, la trisectriz de Maclaurin ( d = - C/3) y el estrofoides derecho ( d = - c ).
Elipses e hipérbolas con centro de inversión en el centro
Invertir la ecuación de una elipse o hipérbola
da
que es el hipopedo . Cuando d = - c esta es la lemniscata de Bernoulli .
Cónicas con centro de inversión arbitrario
Aplicando la fórmula de grados anterior, la inversa de una cónica (que no sea un círculo) es una cúbica circular si el centro de inversión está en la curva, y una cuartica bicircular en caso contrario. Las cónicas son racionales, por lo que las curvas inversas también lo son. Por el contrario, cualquier cúbico circular racional o cuartico bicircular racional es el inverso de una cónica. De hecho, cualquier curva de este tipo debe tener una singularidad real y, tomando este punto como centro de inversión, la curva inversa será una cónica según la fórmula de grados. [1] [2]
Curvas anallagmáticas
Una curva anallagmática es aquella que se invierte en sí misma. Los ejemplos incluyen el círculo , cardioide , óvalo de Cassini , estrofoide y trisectriz de Maclaurin .
Ver también
- Geometría inversora
- Inversión de curvas y superficies (alemán)
Referencias
- Stubbs, JW (1843). "Sobre la aplicación de un nuevo método a la geometría de curvas y superficies curvas". Revista Filosófica . Serie 3. 23 : 338–347.
- Lawrence, J. Dennis (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Publicaciones de Dover. págs. 43–46, 121 . ISBN 0-486-60288-5.
- Weisstein, Eric W. "Curva inversa" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Curva anallagmática" . MathWorld .
- "Inversión" en el diccionario visual de curvas planas especiales
- "Inverse d'une Courbe par Rapport à un Point" en Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
enlaces externos
- Definición en el índice de curvas famosas de MacTutor . Este sitio también tiene ejemplos de curvas inversas y un subprograma de Java para explorar las curvas inversas de cada curva en el índice.