Acción Palatini auto-dual

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Las variables de Ashtekar , que eran un nuevo formalismo canónico de la relatividad general , suscitaron nuevas esperanzas para la cuantificación canónica de la relatividad general y finalmente llevaron a la gravedad cuántica de bucles . Smolin y otros descubrieron de forma independiente que, de hecho, existe una formulación lagrangiana de la teoría al considerar la formulación auto-dual del principio de acción Tetradic Palatini de la relatividad general. ^{[1] [2] [3]} Estas pruebas se dieron en términos de espinores. Goldberg ^[4] dio una prueba puramente tensorial de las nuevas variables en términos de tríadas y Henneaux et al. ^[5]

La acción Palatini

Artículos principales: acción de Einstein-Hilbert , campos de marco en relatividad general , conexión de espín y acción tetradic palatini

La acción de Palatini para la relatividad general tiene como variables independientes la tétrada y una conexión de espín . Se pueden encontrar muchos más detalles y derivaciones en el artículo tetradic Palatini action . La conexión de espín define una derivada covariante . La métrica del espacio-tiempo se recupera de la tétrada mediante la fórmula Definimos la 'curvatura' por${\displaystyle e_{I}^{\alpha }}$ ${\displaystyle {\omega _{\alpha }}^{IJ}}$ ${\displaystyle D_{\alpha }}$${\displaystyle g_{\alpha \beta }=e_{\alpha }^{I}e_{\beta }^{J}\eta _{IJ}.}$

${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}=\partial _{\alpha }{\omega _{\beta }}^{IJ}-\partial _{\beta }{\omega _{\alpha }}^{IJ}+\omega _{\alpha }^{IK}{\omega _{\beta K}}^{J}-\omega _{\beta }^{IK}{\omega _{\alpha K}}^{J}\qquad Eq.1.}$

El escalar de Ricci de esta curvatura viene dado por . La acción de Palatini para la relatividad general dice${\displaystyle e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}}$

${\displaystyle S=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }\;{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}[\omega ]}$

donde . La variación con respecto a la conexión de espín implica que la conexión de espín está determinada por la condición de compatibilidad y, por lo tanto, se convierte en la derivada covariante habitual . Por lo tanto, la conexión se convierte en una función de las tétradas y la curvatura se reemplaza por la curvatura de . Entonces es el escalar de Ricci real . La variación con respecto a la tétrada da la ecuación de Einstein${\displaystyle e={\sqrt {-g}}}$${\displaystyle {\omega _{\alpha }}^{IJ}}$${\displaystyle D_{\alpha }e_{I}^{\beta }=0}$${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}}$${\displaystyle {R_{\alpha \beta }}^{IJ}}$${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$${\displaystyle e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{R_{\alpha \beta }}^{IJ}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R=0.}$

Variables auto-duales

Partes (anti) auto-duales de un tensor

Tendremos que lo que se llama la antisimetría totalmente tensor o símbolo de Levi-Civita , que es igual a +1 o -1 dependiendo de si es o una permutación par o impar de , respectivamente, y cero si cualquiera de los dos índices tienen el mismo valor. Los índices internos de se elevan con la métrica de Minkowski .${\displaystyle \varepsilon _{IJKL}}$${\displaystyle IJKL}$${\displaystyle 0123}$${\displaystyle \varepsilon _{IJKL}}$${\displaystyle \eta ^{IJ}}$

Ahora, dado cualquier tensor antisimétrico , definimos su dual como${\displaystyle T^{IJ}}$

${\displaystyle *T^{IJ}={1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}.}$

La parte auto-dual de cualquier tensor se define como${\displaystyle T^{IJ}}$

${\displaystyle {}^{+}T^{IJ}:={1 \over 2}\left(T^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)}$

con la parte anti-auto-dual definida como

${\displaystyle {}^{-}T^{IJ}:={1 \over 2}\left(T^{IJ}+{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)}$

(la apariencia de la unidad imaginaria está relacionada con la firma de Minkowski como veremos a continuación).${\displaystyle i}$

Descomposición del tensor

Ahora, dado cualquier tensor antisimétrico , podemos descomponerlo como${\displaystyle T^{IJ}}$

${\displaystyle T^{IJ}={\frac {1}{2}}\left(T^{IJ}-{\frac {i}{2}}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)+{\frac {1}{2}}\left(T^{IJ}+{\frac {i}{2}}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)={}^{+}T^{IJ}+{}^{-}T^{IJ}}$

donde y son las partes auto-dual y anti-auto-dual de respectivamente. Defina el proyector en la parte (anti) auto-dual de cualquier tensor como${\displaystyle {}^{+}T^{IJ}}$${\displaystyle {}^{-}T^{IJ}}$${\displaystyle T^{IJ}}$

${\displaystyle P^{(\pm )}={1 \over 2}(1\mp i*).}$

El significado de estos proyectores puede hacerse explícito. Concentrémonos en ,${\displaystyle P^{+}}$

${\displaystyle \left(P^{+}T\right)^{IJ}=\left({1 \over 2}(1-i*)T\right)^{IJ}={1 \over 2}\left({\delta ^{I}}_{K}{\delta ^{J}}_{L}-i{1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}\right)T^{KL}={1 \over 2}\left(T^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)={}^{+}T^{IJ}.}$

Luego

${\displaystyle {}^{\pm }T^{IJ}=\left(P^{(\pm )}T\right)^{IJ}.}$

El soporte de Lie

Un objeto importante es el corchete de Lie definido por

${\displaystyle [F,G]^{IJ}:=F^{IK}{G_{K}}^{J}-G^{IK}{F_{K}}^{J},}$

aparece en el tensor de curvatura (ver los dos últimos términos de la Ec. 1), también define la estructura algebraica. Tenemos los resultados (comprobados a continuación):

${\displaystyle P^{(\pm )}[F,G]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,G\right]^{IJ}=\left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}\qquad Eq.2}$

y

${\displaystyle [F,G]=\left[P^{+}F,P^{+}G\right]+\left[P^{-}F,P^{-}G\right].}$

Ese es el corchete de Lie, que define un álgebra, se descompone en dos partes independientes separadas. Nosotros escribimos

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }={\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }^{+}+{\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }^{-}}$

donde contiene solo los elementos auto-duales (anti-auto-dual) de${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }^{\pm }}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }.}$

La acción Self-dual Palatini

Definimos la parte auto-dual`` de la conexión como${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}}$${\displaystyle {\omega _{\alpha }}^{IJ}}$

${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}={1 \over 2}\left({\omega _{\alpha }}^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}{\omega _{\alpha }}^{KL}\right),}$

que se puede escribir de forma más compacta

${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}=\left(P^{+}\omega _{\alpha }\right)^{IJ}.}$

Definir como la curvatura de la conexión auto-dual${\displaystyle {F_{\alpha \beta }}^{IJ}}$

${\displaystyle {F_{\alpha \beta }}^{IJ}=\partial _{\alpha }{A_{\beta }}^{IJ}-\partial _{\beta }{A_{\alpha }}^{IJ}+{A_{\alpha }}^{IK}{A_{\beta K}}^{J}-{A_{\beta }}^{IK}{A_{\alpha K}}^{J}.}$

Usando la ecuación. 2 es fácil ver que la curvatura de la conexión auto-dual es la parte auto-dual de la curvatura de la conexión,

${\displaystyle {\begin{aligned}{F_{\alpha \beta }}^{IJ}&=\partial _{\alpha }\left(P^{+}\omega _{\beta }\right)^{IJ}-\partial _{\beta }\left(P^{+}\omega _{\alpha }\right)^{IJ}+\left[P^{+}\omega _{\alpha },P^{+}\omega _{\beta }\right]^{IJ}\\&=\left(P^{+}2\partial _{[\alpha }\omega _{\beta ]}\right)^{IJ}+\left(P^{+}[\omega _{\alpha },\omega _{\beta }]\right)^{IJ}\\&=\left(P^{+}\Omega _{\alpha \beta }\right)^{IJ}\end{aligned}}}$

La acción auto-dual es

${\displaystyle S=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }\;{F_{\alpha \beta }}^{IJ}.}$

Como la conexión es compleja, se trata de una relatividad general compleja y se deben especificar las condiciones adecuadas para recuperar la teoría real. Se pueden repetir los mismos cálculos hechos para la acción Palatini pero ahora con respecto a la conexión auto-dual . Variando el campo de la tétrada, se obtiene un análogo auto-dual de la ecuación de Einstein:${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}}$

${\displaystyle {}^{+}R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }{}^{+}R=0.}$

El hecho de que la curvatura de la conexión auto-dual sea la parte auto-dual de la curvatura de la conexión ayuda a simplificar el formalismo 3 + 1 (los detalles de la descomposición en el formalismo 3 + 1 se dan a continuación). El formalismo hamiltoniano resultante se asemeja al de una teoría de calibre de Yang-Mills (esto no sucede con el formalismo Palatini 3 + 1 que básicamente colapsa al formalismo ADM habitual).

Derivación de resultados principales para variables auto-duales

Los resultados de los cálculos realizados aquí se pueden encontrar en el capítulo 3 de las notas Variables de Ashtekar en la relatividad clásica. ^[6] El método de prueba sigue el dado en la sección II de The Ashtekar Hamiltonian for General Relativity . ^[7] Necesitamos establecer algunos resultados para los tensores Lorentzianos (anti) auto-duales.

Identidades para el tensor totalmente antisimétrico

Dado que tiene firma , se deduce que${\displaystyle \eta _{IJ}}$${\displaystyle (-,+,+,+)}$

${\displaystyle \varepsilon ^{IJKL}=-\varepsilon _{IJKL}.}$

para ver esto considerar,

${\displaystyle \varepsilon ^{0123}=\eta ^{0I}\eta ^{1J}\eta ^{2K}\eta ^{3L}\varepsilon _{IJKL}=(-1)(1)(1)(1)\varepsilon _{0123}=-\varepsilon _{0123}.}$

Con esta definición se pueden obtener las siguientes identidades,

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{IJKO}\varepsilon _{LMNO}&=-6\delta _{[L}^{I}\delta _{M}^{J}\delta _{N]}^{K}&&{\text{Eq. 3}}\\\varepsilon ^{IJMN}\varepsilon _{KLMN}&=-4\delta _{[K}^{I}\delta _{L]}^{J}=-2\left(\delta _{K}^{I}\delta _{L}^{J}-\delta _{L}^{I}\delta _{K}^{J}\right)&&{\text{Eq. 4}}\end{aligned}}}$

(los corchetes denotan antisimetrización sobre los índices).

Definición de tensor auto-dual

Se sigue de la ecuación. 4 que el cuadrado del operador de dualidad es menos la identidad,

${\displaystyle **T^{IJ}={1 \over 4}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}{\varepsilon _{MN}}^{KL}T^{MN}=-T^{IJ}}$

El signo menos aquí se debe al signo menos en la ecuación. 4, que a su vez se debe a la firma de Minkowski. Si hubiéramos utilizado la firma euclidiana, es decir , en su lugar, habría habido un signo positivo. Definimos ser auto-dual si y solo si${\displaystyle (+,+,+,+)}$${\displaystyle S^{IJ}}$

${\displaystyle *S^{IJ}=iS^{IJ}.}$

(con la firma euclidiana habría sido la condición de auto-dualidad ). Diga que es auto-dual, escríbalo como una parte real e imaginaria,${\displaystyle *S^{IJ}=S^{IJ}}$${\displaystyle S^{IJ}}$

${\displaystyle S^{IJ}={1 \over 2}T^{IJ}+{\frac {i}{2}}U^{IJ}.}$

Escribe la condición auto-dual en términos de y ,${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle *\left(T^{IJ}+iU^{IJ}\right)={1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}\left(T^{KL}+iU^{KL}\right)=i\left(T^{IJ}+iU^{IJ}\right).}$

Igualando partes reales que leemos

${\displaystyle U^{IJ}=-{1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}}$

y entonces

${\displaystyle S^{IJ}={1 \over 2}\left(T^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)}$

donde es la parte real de .${\displaystyle T^{IJ}}$${\displaystyle 2S^{IJ}}$

Cálculo extenso importante

La prueba de la ecuación. 2 en sencillo. Comenzamos obteniendo un resultado inicial. Todas las demás fórmulas importantes se derivan fácilmente de él. A partir de la definición del corchete de Lie y con el uso de la identidad básica Eq. 3 tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}*[F,*G]^{IJ}&={\frac {1}{2}}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}\left(F^{MK}{(*G)_{K}}^{N}-(*G)^{MK}{F_{K}}^{N}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}\left(F^{MK}{\frac {1}{2}}{\varepsilon _{OPK}}^{N}G^{OP}-{\frac {1}{2}}{\varepsilon _{OP}}^{MK}G^{OP}{F_{K}}^{N}\right)\\&={1 \over 4}\left({\varepsilon _{MN}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{KN}+{\varepsilon _{NM}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{NK}\right){F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={1 \over 2}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{KN}{F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={1 \over 2}\varepsilon ^{MIJN}\varepsilon _{OPKN}{F_{M}}^{K}G^{OP}\\&=-{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{KIJN}\varepsilon _{OPMN}{F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={\frac {1}{2}}\left(\delta _{O}^{K}\delta _{P}^{I}\delta _{M}^{J}+\delta _{M}^{K}\delta _{O}^{I}\delta _{P}^{J}+\delta _{P}^{K}\delta _{M}^{I}\delta _{O}^{J}-\delta _{P}^{K}\delta _{O}^{I}\delta _{M}^{J}-\delta _{M}^{K}\delta _{P}^{I}\delta _{O}^{J}-\delta _{O}^{K}\delta _{M}^{I}\delta _{P}^{J}\right){F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={\frac {1}{2}}\left({F^{J}}_{K}G^{KI}+{F^{K}}_{K}G^{IJ}+{F^{I}}_{K}G^{JK}-{F^{J}}_{K}G^{IK}-{F^{K}}_{K}G^{JI}-{F^{I}}_{K}G^{KJ}\right)\\&=-F^{IK}{G_{K}}^{J}+G^{IK}{F_{K}}^{J}\\&=-[F,G]^{IJ}\end{aligned}}}$

Que da la formula

${\displaystyle *[F,*G]^{IJ}=-[F,G]^{IJ}\qquad Eq.5.}$

Derivación de resultados importantes

Ahora, usando la ecuación 5 junto con obtenemos${\displaystyle **=-1}$

${\displaystyle *(-[F,G]^{IJ})=*(*[F,*G]^{IJ})=**[F,*G]^{IJ}=-[F,*G]^{IJ}.}$

Entonces tenemos

${\displaystyle *[F,G]^{IJ}=[F,*G]^{IJ}\qquad Eq.6.}$

Considerar

${\displaystyle *[F,G]^{IJ}=-*[G,F]^{IJ}=-[G,*F]^{IJ}=[*F,G]^{IJ}.}$

donde en el primer paso hemos usado la antisimetría del corchete de Lie para intercambiar y , en el segundo paso usamos y en el último paso usamos nuevamente la antisimetría del corchete de Lie. Entonces tenemos${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Eq.6}$

${\displaystyle *[F,G]^{IJ}=[*F,G]^{IJ}\qquad Eq.7.}$

Luego

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}&={1 \over 2}\left([F,G]^{IJ}\mp i*[F,G]^{IJ}\right)\\&={1 \over 2}\left([F,G]^{IJ}+[F,\mp i*G]^{IJ}\right)\\&=\left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}&&{\text{Eq. 8}}\end{aligned}}}$

donde usamos Eq. 6 pasando de la primera línea a la segunda línea. Similarmente tenemos

${\displaystyle \left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}=[P^{(\pm )}F,G]^{IJ}\qquad Eq.9}$

utilizando la ecuación 7. Ahora, como es una proyección , satisface , como se puede verificar fácilmente mediante cálculo directo:${\displaystyle P^{(\pm )}}$${\displaystyle (P^{(\pm )})^{2}=P^{(\pm )}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}(P^{(\pm )})^{2}&={1 \over 4}(1\mp i*)(1\mp i*)\\{}&={1 \over 4}(1-**\mp 2i*)\\{}&={1 \over 4}(2\mp 2i*)\\{}&=P^{(\pm )}\end{aligned}}}$

Aplicando esto junto con la Ec. 8 y Eq. 9 obtenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}{}\left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}&=\left((P^{(\pm )})^{2}[F,G]\right)^{IJ}\\&=\left(P^{(\pm )}[F,P^{(\pm )}G]\right)^{IJ}\\{}&=[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G]^{IJ}\qquad Eq.10.\end{aligned}}}$

De la ecuación. 10 y Eq. 9 tenemos

${\displaystyle \left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G+P^{(\mp )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}+\left[P^{(\pm )}F,P^{(\mp )}G\right]^{IJ}}$

donde hemos usado que cualquiera puede escribirse como una suma de sus partes auto-dual y anti-sef-dual, es decir . Esto implica:${\displaystyle G}$${\displaystyle G=P^{(\pm )}G+P^{(\mp )}G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}\left[P^{+}F,P^{-}G\right]^{IJ}&=0\\{}\left[P^{-}F,P^{+}G\right]^{IJ}&=0\end{aligned}}}$

Resumen de los principales resultados

En total tenemos,

${\displaystyle \left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,G\right]^{IJ}=\left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}}$

que es nuestro principal resultado, ya indicado anteriormente como Eq. 2. También tenemos que cualquier soporte se divide como

${\displaystyle [F,G]^{IJ}=\left[P^{+}F+P^{-}F,P^{+}G+P^{-}F\right]^{IJ}=\left[P^{+}F,P^{+}G\right]^{IJ}+\left[P^{-}F,P^{-}G\right]^{IJ}.}$

en una parte que depende solo de los tensores Lorentzianos auto-duales y es en sí misma la parte auto-dual y una parte que depende solo de los tensores Lorentzianos anti-auto-duales y es la parte anti-auto-dual de${\displaystyle [F,G]^{IJ},}$${\displaystyle [F,G]^{IJ}.}$

Derivación del formalismo de Ashtekar a partir de la acción auto-dual

La prueba que se da aquí sigue a la dada en las conferencias de Jorge Pullin ^[8]

La acción Palatini

${\displaystyle S(e,\omega )=\int d^{4}xee_{I}^{a}e_{J}^{b}{\Omega _{ab}}^{IJ}[\omega ]\qquad Eq.11}$

donde se piensa que el tensor de Ricci,, se construye puramente a partir de la conexión , sin utilizar el campo de trama. La variación con respecto a la tétrada da las ecuaciones de Einstein escritas en términos de las tétradas, pero para un tensor de Ricci construido a partir de la conexión que no tiene una relación a priori con la tétrada. La variación con respecto a la conexión nos dice que la conexión satisface la condición de compatibilidad habitual${\displaystyle {\Omega _{ab}}^{IJ}}$${\displaystyle \omega _{a}^{IJ}}$

${\displaystyle D_{b}e_{a}^{I}=0.}$

Esto determina la conexión en términos de la tétrada y recuperamos el tensor de Ricci habitual.

La acción auto-dual para la relatividad general se da arriba.

${\displaystyle S(e,A)=\int d^{4}xee_{I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}[A]}$

¿Dónde está la curvatura del , la parte auto-dual de ,${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle A_{a}^{IJ}={1 \over 2}\left(\omega _{a}^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}\omega _{a}^{MN}\right).}$

Se ha demostrado que es la parte auto-dual de${\displaystyle F[A]}$${\displaystyle \Omega [\omega ].}$

Sea el proyector en las tres superficies y defina campos vectoriales${\displaystyle q_{b}^{a}=\delta _{b}^{a}+n^{a}n_{b}}$

${\displaystyle E_{I}^{a}=q_{b}^{a}e_{I}^{b},}$

que son ortogonales a .${\displaystyle n^{a}}$

Escribiendo

${\displaystyle E_{I}^{a}=\left(\delta _{b}^{a}+n_{b}n^{a}\right)e_{I}^{b}}$

entonces podemos escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}\int &d^{4}x\left(eE_{I}^{a}E_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}-2eE_{I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)=\\&=\int d^{4}x\left(e\left(\delta _{c}^{a}+n_{c}n^{a}\right)e_{I}^{c}\left(\delta _{d}^{b}+n_{d}n^{b}\right)e_{J}^{d}{F_{ab}}^{IJ}-2e\left(\delta _{c}^{a}+n_{c}n^{a}\right)e_{I}^{c}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}x\left(ee_{I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}+en_{c}n^{a}e_{I}^{c}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}+ee_{I}^{a}n_{d}n^{b}e_{J}^{d}{F_{ab}}^{IJ}+en_{c}n^{a}n_{d}n^{b}E_{I}^{c}E_{J}^{d}{F_{ab}}^{IJ}-2ee_{I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}-2n_{c}n^{a}e_{I}^{c}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}xee_{I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}\\&=S(E,A)\end{aligned}}}$

donde usamos y .${\displaystyle {F_{ab}}^{IJ}={F_{ba}}^{JI}}$${\displaystyle n^{a}n^{b}F_{ab}^{i}=0}$

Entonces la acción se puede escribir

${\displaystyle S(E,A)=\int d^{4}x\left(eE_{I}^{a}E_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}-2eE_{I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\qquad Eq.12}$

Tenemos . Ahora definimos${\displaystyle e=N{\sqrt {q}}}$

${\displaystyle {\tilde {E}}_{I}^{a}={\sqrt {q}}E_{I}^{a}}$

Un tensor interno es auto-dual si y solo si${\displaystyle S^{IJ}}$

${\displaystyle *S^{IJ}:={1 \over 2}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}S^{MN}=iS^{IJ}}$

y dada la curvatura es auto-dual tenemos${\displaystyle {F_{ab}}^{IJ}}$

${\displaystyle {F_{ab}}^{IJ}=-i{1 \over 2}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}{F_{ab}}^{MN}}$

Sustituyendo esto en la acción (Ec. 12) tenemos,

${\displaystyle S(E,A)=\int d^{4}x\left(-i{\frac {1}{2}}\left({\frac {N}{\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}{F_{ab}}^{MN}-2Nn^{b}{\tilde {E}}_{I}^{a}n_{J}{F_{ab}}^{IJ}\right)}$

donde denotamos . Elegimos el calibre y (esto significa ). Escritura , que en este calibre . Por lo tanto,${\displaystyle n_{J}=e_{J}^{d}n_{d}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{0}^{a}=0}$${\displaystyle n^{I}=\delta _{0}^{I}}$${\displaystyle n_{I}=\eta _{IJ}n^{J}=\eta _{00}\delta _{0}^{I}=-\delta _{0}^{I}}$${\displaystyle \varepsilon _{IJKL}n^{L}=\varepsilon _{IJK}}$${\displaystyle \varepsilon _{IJK0}=\varepsilon _{IJK}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S(E,A)&=\int d^{4}x\left(-i{1 \over 2}\left({N \over {\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}\left({\varepsilon ^{IJ}}_{M0}{F_{ab}}^{M0}+{\varepsilon ^{IJ}}_{0M}{F_{ab}}^{0M}\right)-2Nn^{b}{\tilde {E}}_{I}^{a}n_{J}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}x\left(-i\left({N \over {\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{M}{F_{ab}}^{M0}+2Nn^{b}{\tilde {E}}_{I}^{a}{F_{ab}}^{I0}\right)\end{aligned}}}$

Los índices oscilan y los denotamos con letras minúsculas en un momento. Por la auto-dualidad de ,${\displaystyle I,J,M}$${\displaystyle 1,2,3}$${\displaystyle A_{a}^{IJ}}$

${\displaystyle A_{a}^{i0}=-i{1 \over 2}{\varepsilon ^{i0}}_{jk}A_{a}^{jk}=i{1 \over 2}{\varepsilon ^{i}}_{jk}A_{a}^{jk}=iA_{a}^{i}.}$

donde usamos

${\displaystyle {\varepsilon ^{i0}}_{jk}=-{\varepsilon ^{i}}_{0jk}=-{\varepsilon ^{i}}_{jk0}=-{\varepsilon ^{i}}_{jk}.}$

Esto implica

${\displaystyle {\begin{aligned}{F_{ab}}^{i0}&=\partial _{a}A_{b}^{i0}-\partial _{b}A_{a}^{i0}+A_{a}^{ik}{A_{bk}}^{0}-A_{b}^{ik}{A_{ak}}^{0}\\&=i\left(\partial _{a}A_{b}^{i}-\partial _{b}A_{a}^{i}+A_{a}^{ik}A_{bk}-A_{b}^{ik}A_{ak}\right)\\&=i\left(\partial _{a}A_{b}^{i}-\partial _{b}A_{a}^{i}+\varepsilon _{ijk}A_{a}^{j}A_{b}^{k}\right)\\&=iF_{ab}^{i}\end{aligned}}}$

Reemplazamos en el segundo término en la acción por . Nosotros necesitamos${\displaystyle Nn^{b}}$${\displaystyle t^{b}-n^{b}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}=t^{a}\partial _{a}A_{b}^{i}+A_{a}^{i}\partial _{b}t^{a}}$

y

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)=\partial _{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}\left(t^{a}A_{a}^{k}\right)}$

para obtener

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}-{\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)=t^{a}\left(\partial _{a}A_{b}^{i}-\partial _{b}A_{a}^{i}+\varepsilon _{ijk}A_{a}^{j}A_{b}^{k}\right)=t^{a}F_{ab}^{i}.}$

La acción se convierte

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int d^{4}x\left(-i\left({N \over {\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{M}{F_{ab}}^{M0}-2\left(t^{a}-N^{a}\right){\tilde {E}}_{I}^{b}{F_{ab}}^{I0}\right)\\&=\int d^{4}x\left(-2i{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}+2i{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)+2iN^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}-\left({N \over {\sqrt {q}}}\right)\varepsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}\right)\end{aligned}}}$

donde intercambiamos las variables ficticias y en el segundo término de la primera línea. Integrando por partes en el segundo trimestre,${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int d^{4}x{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)&=\int dtd^{3}x{\tilde {E}}_{i}^{b}\left(\partial _{b}(t^{a}A_{a}^{i})+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}(t^{a}A_{a}^{k})\right)\\&=-\int dtd^{3}xt^{a}A_{a}^{i}\left(\partial _{b}{\tilde {E}}_{i}^{b}+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}{\tilde {E}}_{k}^{b}\right)\\&=-\int d^{4}xt^{a}A_{a}^{i}{\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b}\end{aligned}}}$

donde hemos descartado el término límite y donde usamos la fórmula para la derivada covariante en una densidad de vector :${\displaystyle {\tilde {V}}_{i}^{b}}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{b}{\tilde {V}}_{i}^{b}=\partial _{b}{\tilde {V}}_{i}^{b}+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}{\tilde {V}}_{k}^{b}.}$

La forma final de la acción que requerimos es

${\displaystyle S=\int d^{4}x\left(-2i{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}-2i\left(t^{a}A_{a}^{i}\right){\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b}+2iN^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}+\left({N \over {\sqrt {q}}}\right)\varepsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}\right)}$

Hay un término de la forma " ", por lo que la cantidad es el momento conjugado a . Por lo tanto, podemos escribir inmediatamente${\displaystyle p{\dot {q}}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$${\displaystyle A_{a}^{i}}$

${\displaystyle \left\{A_{a}^{i}(x),{\tilde {E}}_{j}^{b}(y)\right\}={i \over 2}\delta _{a}^{b}\delta _{j}^{i}\delta ^{3}(x,y).}$

La variación de la acción con respecto a las cantidades no dinámicas , que es el componente de tiempo de la conexión de cuatro, la función de desplazamiento y la función de lapso dan las restricciones${\displaystyle (t^{a}A_{a}^{i})}$${\displaystyle N^{b}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}{\tilde {E}}_{i}^{a}=0,}$

${\displaystyle F_{ab}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{b}=0,}$

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}=0\qquad Eq.13.}$

Variando con respecto a da la última restricción en la ecuación. 13 dividido por , se ha reescalado para hacer el polinomio de restricción en las variables fundamentales. La conexión se puede escribir${\displaystyle N}$${\displaystyle {\sqrt {q}}}$${\displaystyle A_{a}^{i}}$

${\displaystyle A_{a}^{i}={1 \over 2}{\varepsilon ^{i}}_{jk}A_{a}^{jk}={1 \over 2}{\varepsilon ^{i}}_{jk}\left(\omega _{a}^{jk}-i{1 \over 2}\left({\varepsilon ^{jk}}_{m0}\omega _{a}^{m0}+{\varepsilon ^{jk}}_{0m}\omega _{a}^{0m}\right)\right)=\Gamma _{a}^{i}-i\omega _{a}^{0i}}$

y

${\displaystyle E_{ci}\omega _{a}^{0i}=-q_{a}^{b}E_{ci}\omega _{b}^{i0}=-q_{a}^{b}E_{ci}e^{di}\nabla _{b}e_{d}^{0}=q_{a}^{b}q_{c}^{d}\nabla _{b}n_{d}=K_{ac}}$

donde usamos

${\displaystyle e_{d}^{0}=\eta ^{0I}g_{dc}e_{I}^{c}=-g_{dc}e_{0}^{c}=-n_{d},}$

por lo tanto . Entonces la conexión dice${\displaystyle \omega _{a}^{0i}=K_{a}^{i}}$

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}.}$

Esta es la llamada conexión de espín quiral.

Condiciones de la realidad

Debido a que las variables de Ashtekar son complejas, resulta en una relatividad general compleja. Para recuperar la teoría real hay que imponer lo que se conoce como condiciones de realidad. Estos requieren que la tríada densitizada sea real y que la parte real de la conexión Ashtekar sea igual a la conexión de espín compatible.

Más que decir sobre esto, más adelante.

Ver también

• Álgebra de mentiras
• Acción Plebanski
• Modelo BF

Referencias

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3. Jacobson, T; Smolin, L (1 de abril de 1988). "Acción covariante para la forma de gravedad canónica de Ashtekar". Gravedad clásica y cuántica . Publicación de IOP. 5 (4): 583–594. Código bibliográfico : 1988CQGra ... 5..583J . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 5/4/006 . ISSN 0264-9381 . 
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8. Teoría de nudos y gravedad cuántica en el espacio de bucles: un manual de Jorge Pullin; AIP Conf.Proc.317: 141-190, 1994, arXiv: hep-th / 9301028