La acción de Einstein-Hilbert para la relatividad general se formuló por primera vez puramente en términos de la métrica del espacio-tiempo. Para tomar la conexión métrica y afín como variables independientes en el principio de acción fue considerado por primera vez por Palatini . [1] Se llama una formulación de primer orden ya que las variables sobre las que variar involucran solo hasta las primeras derivadas en la acción y, por lo tanto, no complica demasiado las ecuaciones de Euler-Lagrange con términos que provienen de términos de derivada superior. La acción de Palatini tetrádica es otra formulación de primer orden de la acción de Einstein-Hilbert en términos de un par diferente de variables independientes, conocidas como campos de marco.y la conexión giratoria . El uso de campos de marco y conexiones de espín es esencial en la formulación de una acción fermiónica generalmente covariante (ver el artículo conexión de espín para más información sobre esto) que acopla los fermiones a la gravedad cuando se agrega a la acción tetrádica de Palatini.
Esto no solo es necesario para acoplar los fermiones a la gravedad y hace que la acción tetrádica de alguna manera sea más fundamental para la versión métrica, la acción Palatini también es un trampolín hacia acciones más interesantes como la acción Palatini auto-dual que puede verse como la base lagrangiana. para la formulación de Ashtekar de la gravedad canónica (ver variables de Ashtekar ) o la acción de Holst que es la base de la versión de variables reales de la teoría de Ashtekar. Otra acción importante es la acción de Plebanski (ver la entrada sobre el modelo de Barrett-Crane ), y demostrar que da relatividad general bajo ciertas condiciones implica demostrar que se reduce a la acción de Palatini bajo estas condiciones.
Aquí presentamos definiciones y calculamos las ecuaciones de Einstein a partir de la acción de Palatini en detalle. Estos cálculos se pueden modificar fácilmente para la acción Palatini auto-dual y la acción Holst.
Algunas definiciones
Primero tenemos que introducir la noción de tétradas. Una tétrada es una base vectorial ortonormal en términos de la cual la métrica del espacio-tiempo parece localmente plana,
dónde es la métrica de Minkowski. Las tétradas codifican la información sobre la métrica del espacio-tiempo y se tomarán como una de las variables independientes en el principio de acción.
Ahora bien, si uno va a operar con objetos que tienen índices internos, es necesario introducir una derivada apropiada (derivada covariante). Introducimos una derivada covariante arbitraria a través de
Dónde es una conexión espín (Lorentz) de una forma (la derivada aniquila la métrica de Minkowski ). Definimos una curvatura a través de
Obtenemos
- .
Introducimos la derivada covariante que aniquila la tétrada,
- .
La conexión está completamente determinada por la tétrada. La acción de esto sobre el tensor generalizado es dado por
Definimos una curvatura por
Esto se relaciona fácilmente con la curvatura habitual definida por
a través de sustitución en esta expresión (ver más abajo para más detalles). Se obtiene,
para el tensor de Riemann , el tensor de Ricci y el escalar de Ricci respectivamente.
La acción tetrádica de Palatini
El escalar de Ricci de esta curvatura se puede expresar como La acción se puede escribir
dónde pero ahora es una función del campo del marco.
Derivaremos las ecuaciones de Einstein variando esta acción con respecto a la tétrada y la conexión de espín como cantidades independientes.
Como atajo para realizar el cálculo introducimos una conexión compatible con la tétrada, [2] La conexión asociada con este derivado covariante está completamente determinada por la tétrada. La diferencia entre las dos conexiones que hemos introducido es un campo definido por
Podemos calcular la diferencia entre las curvaturas de estas dos derivadas covariantes (ver más abajo para más detalles),
La razón de este cálculo intermedio es que es más fácil calcular la variación reexpresando la acción en términos de y y observando que la variación con respecto a es la misma que la variación con respecto a (al mantener fija la tétrada). La acción se convierte
Primero variamos con respecto a . El primer término no depende depor lo que no contribuye. El segundo término es una derivada total. El último plazo rinde
Mostramos a continuación que esto implica que como el prefactor es no degenerado. Esto nos dice que coincide con al actuar sobre objetos con solo índices internos. Por lo tanto, la conexión está completamente determinado por la tétrada y coincide con . Para calcular la variación con respecto a la tétrada necesitamos la variación de. De la fórmula estándar
tenemos . O al usar, esto se convierte en . Calculamos la segunda ecuación variando con respecto a la tétrada,
Se obtiene, después de sustituir por dado por la ecuación de movimiento anterior,
que, después de la multiplicación por simplemente nos dice que el tensor de Einstein de la métrica definida por las tétradas desaparece. Por tanto, hemos demostrado que la variación de Palatini de la acción en forma tetradica produce las ecuaciones de Einstein habituales .
Generalizaciones de la acción Palatini
Cambiamos la acción agregando un término
Esto modifica la acción de Palatini para
dónde
Esta acción dada anteriormente es la acción de Holst, introducida por Holst [3] yes el parámetro Barbero-Immirzi cuyo papel fue reconocido por Barbero [4] e Immirizi. [5] La formulación dual del yo corresponde a la elección.
Es fácil mostrar que estas acciones dan las mismas ecuaciones. Sin embargo, el caso correspondiente aDebe hacerse por separado (ver artículo acción Palatini auto-dual ). Asumir, luego tiene una inversa dada por
(tenga en cuenta que esto diverge para ). Como existe esta inversa, la generalización del prefactortambién será no degenerado y, como tal, se obtienen condiciones equivalentes a partir de la variación con respecto a la conexión. Obtenemos de nuevo. Mientras que la variación con respecto a la tétrada produce la ecuación de Einstein más un término adicional. Sin embargo, este término adicional desaparece por simetrías del tensor de Riemann.
Detalles de cálculo
Relacionar la curvatura habitual con la curvatura de índice mixto
El tensor de curvatura de Riemann habitual es definido por
Para encontrar la relación con el tensor de curvatura de índice mixto, sustituyamos
donde hemos usado . Dado que esto es cierto para todos obtenemos
- .
Usando esta expresión encontramos
Contratación sobre y nos permite escribir el escalar de Ricci
Diferencia entre curvaturas
La derivada definida por solo sabe actuar sobre índices internos. Sin embargo, nos parece conveniente considerar una extensión sin torsión de los índices espaciotemporales. Todos los cálculos serán independientes de esta elección de extensión. Aplicando dos veces ,
dónde no es importante, solo necesitamos tener en cuenta que es simétrico en y ya que no tiene torsión. Luego
Por eso:
Variando la acción con respecto al campo
Esperaríamos para aniquilar también la métrica de Minkowski . Si también asumimos que la derivada covariante aniquila la métrica de Minkowski (entonces se dice que es libre de torsión) que tenemos,
Insinuando
Desde el último término de la acción tenemos de variar con respecto a
o
o
donde hemos usado . Esto se puede escribir de forma más compacta como
Desaparición de
Mostraremos siguiendo la referencia "Geometrodinámica vs. Dinámica de Conexión" [6] que
implica Primero definimos el campo del tensor del espacio-tiempo por
Entonces la condicion es equivalente a . Contratante Eq. 1 con uno calcula que
Como tenemos Lo escribimos como
y como son invertibles esto implica
Así, los términos y de Eq. 1 se desvanecen y la ecuación. 1 se reduce a
Si ahora contratamos esto con , obtenemos
o
Desde que tenemos y , podemos intercambiar sucesivamente los dos primeros y luego los dos últimos índices con el cambio de signo apropiado cada vez para obtener,
Insinuando
o
y desde el son invertibles, obtenemos . Este es el resultado deseado.
Ver también
Referencias
- ↑ A. Palatini (1919) Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principio di Hamilton , Rend. Circ. Estera. Palermo 43 , 203-212 [traducción al inglés de R. Hojman y C. Mukku en PG Bergmann y V. De Sabbata (eds.) Cosmology and Gravitation, Plenum Press, Nueva York (1980)]
- ^ A. Ashtekar "Conferencias sobre gravedad canónica no perturbativa" (con contribuciones invitadas), Bibliopolis, Nápoles 19988.
- ↑ Holst, Sören (15 de mayo de 1996). "El hamiltoniano de Barbero derivado de una acción generalizada de Hilbert-Palatini". Physical Review D . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 53 (10): 5966–5969. arXiv : gr-qc / 9511026 . doi : 10.1103 / physrevd.53.5966 . ISSN 0556-2821 .
- ^ Barbero G., J. Fernando (15 de mayo de 1995). "Variables reales de Ashtekar para los espacios-tiempos de la firma Lorentziana". Physical Review D . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 51 (10): 5507–5510. arXiv : gr-qc / 9410014 . doi : 10.1103 / physrevd.51.5507 . ISSN 0556-2821 .
- ^ Immirzi, Giorgio (1 de octubre de 1997). "Conexiones reales y complejas para la gravedad canónica". Gravedad clásica y cuántica . Publicación de IOP. 14 (10): L177 – L181. arXiv : gr-qc / 9612030 . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 14/10/002 . ISSN 0264-9381 .
- ^ Romano, Joseph D. (1993). "Geometrodinámica vs. dinámica de conexión". Relatividad general y gravitación . Springer Science and Business Media LLC. 25 (8): 759–854. arXiv : gr-qc / 9303032 . doi : 10.1007 / bf00758384 . ISSN 0001-7701 .