En la formulación ADM de la relatividad general , el espacio-tiempo se divide en porciones espaciales y un eje de tiempo. Las variables básicas se toman como la métrica inducida. en el segmento espacial y el impulso conjugado de la métrica , que está relacionada con la curvatura extrínseca y es una medida de cómo la métrica inducida evoluciona en el tiempo. [1] Estas son las coordenadas métricas canónicas .
En 1986, Abhay Ashtekar introdujo un nuevo conjunto de variables canónicas, Ashtekar ( nuevas ) variables para representar una forma inusual de reescribir las variables métricas canónicas en los cortes espaciales tridimensionales en términos de un campo de calibre SU (2) y su variable complementaria. [2]
Descripción general
Las variables de Ashtekar proporcionan lo que se llama la representación de conexión de la relatividad general canónica, que condujo a la representación de bucle de la relatividad general cuántica [3] y, a su vez, la gravedad cuántica de bucle y la teoría de holonomía cuántica . [4]
Introduzcamos un conjunto de tres campos vectoriales , que son ortogonales, es decir,
- .
La se llaman tríada o drei-bein (traducción literal al alemán, "tres patas"). Ahora hay dos tipos diferentes de índices, índices "espaciales". que se comportan como índices regulares en un espacio curvo e índices "internos" que se comportan como índices de espacio plano (la "métrica" correspondiente que aumenta y disminuye los índices internos es simplemente ). Definir el drei-bein dual como
- .
Entonces tenemos las dos relaciones de ortogonalidad
dónde es la matriz inversa de la métrica (esto proviene de sustituir la fórmula del drei-bein dual en términos del drei-bein en y usando la ortogonalidad de los drei-beins).
y
(esto se produce por contratar con y utilizando la independencia lineal de la). Entonces es fácil de verificar a partir de la primera relación de ortogonalidad (empleando) que
hemos obtenido una fórmula para la métrica inversa en términos de los drei-beins - los drei-beins pueden considerarse como la "raíz cuadrada" de la métrica (el significado físico de esto es que la métrica , cuando se escribe en términos de una base , es localmente plano). En realidad, lo que realmente se considera es
- ,
que involucra el densitized drei-bein en su lugar (densitizado como ). Uno se recupera dela métrica multiplicada por un factor dado por su determinante. Está claro que y contienen la misma información, simplemente reorganizada. Ahora la eleccion parano es único, y de hecho se puede realizar una rotación local en el espacio con respecto a los índices internossin cambiar la métrica (inversa). Este es el origen de lainvariancia de calibre. Ahora, si uno va a operar con objetos que tienen índices internos, es necesario introducir una derivada apropiada ( derivada covariante ), por ejemplo, la derivada covariante para el objeto. estarán
dónde es la conexión habitual Levi-Civita yes la llamada conexión de espín . Tomemos la variable de configuración como
dónde y . El drei-bein densitizado es la variable de momento conjugado de este campo de indicador (o conexión) SU (2) tridimensional, en que satisface la relación de corchetes de Poisson
- .
El constante es el parámetro de Immirzi , un factor que renormaliza la constante de Newton . El drei-bein densitizado se puede usar para reconstruir la métrica como se discutió anteriormente y la conexión se puede usar para reconstruir la curvatura extrínseca. Las variables de Ashtekar corresponden a la elección(el negativo del número imaginario ),entonces se llama conexión de espín quiral. La razón de esta elección de conexión de espín fue que Ashtekar podía simplificar mucho la ecuación más problemática de la relatividad general canónica, a saber, la restricción hamiltoniana de LQG ; esta elección hizo desaparecer su segundo, formidable, término y el término restante se convirtió en polinomio en sus nuevas variables. Esto generó nuevas esperanzas para el programa canónico de gravedad cuántica. [5] Sin embargo, presentó ciertas dificultades. Aunque las variables de Ashtekar tenían la virtud de simplificar el hamiltoniano, tiene el problema de que las variables se vuelven complejas. [6] Cuando uno cuantifica la teoría, es una tarea difícil asegurar que uno recupere la relatividad general real en oposición a la relatividad general compleja. También la restricción hamiltoniana con la que Ashtekar trabajó fue la versión densitizada en lugar de la hamiltoniana original, es decir, trabajó con. Hubo serias dificultades para promover esta cantidad a un operador cuántico . Fue Thomas Thiemann quien pudo utilizar la generalización del formalismo de Ashtekar a conexiones reales (toma valores reales) y, en particular, ideó una forma de simplificar el hamiltoniano original, junto con el segundo término, en 1996. También fue capaz de promover esta restricción hamiltoniana a un operador cuántico bien definido dentro de la representación de bucle. [7] Para una descripción de estos desarrollos, vea la entrada de la página de inicio de John Baez , The Hamiltonian Constraint in the Loop Representation of Quantum Gravity . [8]
Lee Smolin y Ted Jacobson, y Joseph Samuel, de forma independiente, descubrieron que, de hecho, existe una formulación lagrangiana de la teoría al considerar la formulación auto-dual del principio de acción tetrádico de Palatini de la relatividad general. [9] [10] [11] Estas pruebas se dieron en términos de espinores. Goldberg [12] dio una prueba puramente tensorial de las nuevas variables en términos de tríadas y Henneaux et al. [13]
Referencias
- ^ Gravitación de Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, publicado por WH Freeman y compañía. Nueva York.
- ^ Ashtekar, A (1986). "Nuevas variables para la gravedad clásica y cuántica". Cartas de revisión física . 57 (18): 2244–2247. Código Bibliográfico : 1986PhRvL..57.2244A . doi : 10.1103 / physrevlett.57.2244 . PMID 10033673 .
- ^ Rovelli, C .; Smolin, L. (1988). "Teoría de nudos y gravedad cuántica". Cartas de revisión física . 61 (10): 1155-1158. Código Bibliográfico : 1988PhRvL..61.1155R . doi : 10.1103 / physrevlett.61.1155 . PMID 10038716 .
- ^ J. Aastrup; JM Grimstrup (2015). "Teoría de la Holonomía Cuántica". Fortschritte der Physik . 64 (10): 783. arXiv : 1504.07100 . Código bibliográfico : 2016ForPh..64..783A . doi : 10.1002 / prop.201600073 .
- ^ Consulte el libro Lectures on Non-Perturbative Canonical Gravity para obtener más detalles sobre este y el desarrollo posterior. Publicado por primera vez en 1991. World Scientific Publishing Co. Pte. Limitado.
- ↑ Véase el capítulo 5 de la parte III de Gauge Fields, Knots and Gravity , John Baez, Javier P. Muniain. Publicado por primera vez en 1994. World Scientific Publishing Co. Pte. Limitado.
- ^ Thiemann, T. (1996). "Formulación libre de anomalías de la gravedad cuántica de Lorentzian cuatridimensional, no perturbativa". Physics Letters B . Elsevier BV. 380 (3–4): 257–264. arXiv : gr-qc / 9606088 . doi : 10.1016 / 0370-2693 (96) 00532-1 . ISSN 0370-2693 .
- ^ La restricción hamiltoniana en la representación en bucle de la gravedad cuántica , http://math.ucr.edu/home/baez/hamiltonian/hamiltonian.html
- ^ Samuel, J. (abril de 1987). "Una base lagrangiana para la formulación de Ashtekar de la gravedad canónica" . Pramana - Revista de física . Academia Nacional de Ciencias de la India. 28 (4): L429-L432.
- ^ Jacobson, Ted; Smolin, Lee (1987). "La conexión de giro de la mano izquierda como variable para la gravedad canónica". Physics Letters B . Elsevier BV. 196 (1): 39–42. doi : 10.1016 / 0370-2693 (87) 91672-8 . ISSN 0370-2693 .
- ^ Jacobson, T; Smolin, L (1 de abril de 1988). "Acción covariante para la forma de gravedad canónica de Ashtekar". Gravedad clásica y cuántica . Publicación de IOP. 5 (4): 583–594. doi : 10.1088 / 0264-9381 / 5/4/006 . ISSN 0264-9381 .
- ^ Goldberg, JN (15 de abril de 1988). "Enfoque de la tríada al hamiltoniano de la relatividad general". Physical Review D . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 37 (8): 2116–2120. doi : 10.1103 / physrevd.37.2116 . ISSN 0556-2821 .
- ^ Henneaux, M .; Nelson, JE; Schomblond, C. (15 de enero de 1989). "Derivación de las variables Ashtekar a partir de la gravedad de la tétrada". Physical Review D . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 39 (2): 434–437. doi : 10.1103 / physrevd.39.434 . ISSN 0556-2821 .
Otras lecturas
- Ashtekar, Abhay (1986). "Nuevas variables para la gravedad clásica y cuántica". Cartas de revisión física . 57 (18): 2244–2247. Código Bibliográfico : 1986PhRvL..57.2244A . doi : 10.1103 / PhysRevLett.57.2244 . PMID 10033673 .