En teoría de números , un número de uno mismo , el número de Colombia o número Devlali en una determinada base de numeración es un número natural que no se puede escribir como la suma de ningún otro número natural y los dígitos individuales de . 20 es un número propio (en base 10), porque no se puede encontrar tal combinación (todosdar un resultado menor que 20; todos los demásdar un resultado superior a 20). 21 no lo es, porque se puede escribir como 15 + 1 + 5 usando n = 15. Estos números fueron descritos por primera vez en 1949 por el matemático indio D. R. Kaprekar .
Definición y propiedades
Dejar ser un número natural. Definimos el- función automática para la base ser el siguiente:
dónde es el número de dígitos en el número en base , y
es el valor de cada dígito del número. Un numero natural es un - número propio si la preimagen de por es el conjunto vacío .
En general, para las bases pares, todos los números impares por debajo del número base son números propios, ya que cualquier número por debajo de un número impar tendría que ser también un número de 1 dígito que, cuando se suma a su dígito, daría como resultado un número par. Para bases impares, todos los números impares son números propios. [1]
El conjunto de números propios en una base dada. es infinito y tiene una densidad asintótica positiva : cuandoes extraño, esta densidad es 1/2. [2]
Fórmula recurrente
La siguiente relación de recurrencia genera algunos números propios de base 10 :
(con C 1 = 9)
Y para números binarios :
(donde j representa el número de dígitos) podemos generalizar una relación de recurrencia para generar números propios en cualquier base b :
en el que C 1 = b - 1 para bases pares y C 1 = b - 2 para bases impares.
La existencia de estas relaciones de recurrencia muestra que para cualquier base hay infinitos números propios.
Pruebas de autoestima
Ensayos de reducción
Luke Pebody mostró (octubre de 2006) que se puede establecer un vínculo entre la propiedad self de un número grande ny una porción de orden inferior de ese número, ajustada por sumas de dígitos:
- En general, n es uno mismo si y solo si m = R ( n ) + SOD (R ( n )) - SOD ( n ) es uno mismo
Dónde:
- R ( n ) es el dígito más pequeño más a la derecha de n , mayor que 9.d ( n )
- d ( n ) es el número de dígitos en n
- SOD ( x ) es la suma de dígitos de x , la función S 10 ( x ) de arriba.
- Si , entonces n es self si y solo si ambos { m 1 & m 2 } son negativos o self
Dónde:
- m 1 = c - SOD ( a )
- m 2 = SOD ( a -1) + 9 · b - ( c +1)
- Para el caso simple de a = 1 & c = 0 en el modelo anterior (es decir,), entonces n es self si y solo si (9 · b -1) es self
Prueba eficaz
Kaprekar demostró que:
- n es yo mismo si
Dónde:
- es la suma de todos los dígitos de n .
- es el número de dígitos en n .
Números propios en bases específicas
Para los autonúmeros de base 2 , consulte OEIS : A010061 . (escrito en base 10)
Los primeros números propios en base 10 son:
- 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 20 , 31 , 42 , 53 , 64 , 75 , 86 , 97 , 108 , 110 , 121 , 132 , 143 , 154 , 165 , 176 , 187 , 198 , 209 , 211 , 222 , 233 , 244 , 255 , 266 , 277 , 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400 , 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490, ... (secuencia A003052 en la OEIS )
En base 12 , los números propios son: (usando dos y tres invertidos para diez y once, respectivamente)
- 1, 3, 5, 7, 9, Ɛ, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, ᘔ 8, Ɛ9, 102, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 1 ᘔ 9, 1Ɛᘔ, 20Ɛ, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 2 ᘔᘔ, 2ƐƐ, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 39 ᘔ, 3 ᘔƐ, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 48 ᘔ, 49Ɛ, 4Ɛ0, 501, 512, 514, 525, 536, 547, 558, 569, 57 ᘔ, 58Ɛ, 5 ᘔ 0, 5Ɛ1, ...
Auto primos
Un autoprimo es un auto número que es primo .
Los primeros autocebadores en base 10 son
- 3, 5, 7, 31, 53, 97, 211, 233, 277, 367, 389, 457, 479, 547, 569, 613, 659, 727, 839, 883, 929, 1021, 1087, 1109, 1223, 1289, 1447, 1559, 1627, 1693, 1783, 1873, ... (secuencia A006378 en la OEIS )
Los primeros autoprimos en base 12 son: (usando dos y tres invertidos para diez y once, respectivamente)
- 3, 5, 7, Ɛ, 31, 75, 255, 277, 2ƐƐ, 3 ᘔƐ, 435, 457, 58Ɛ, 5Ɛ1, ...
En octubre de 2006, Luke Pebody demostró que el número primo de Mersenne más grande conocido en base 10 que es al mismo tiempo un número propio es 2 24036583 -1. Este es entonces el autoprimaje más grande conocido en base 10 a partir de 2006[actualizar].
Extensión a enteros negativos
Los números propios pueden extenderse a los enteros negativos mediante el uso de una representación de dígitos con signo para representar cada entero.
Extracto de la tabla de bases donde 2007 es propio
La siguiente tabla se calculó en 2007.
Base | Certificado | Suma de dígitos |
---|---|---|
40 | 48 | |
41 | - | - |
42 | 40 | |
43 | - | - |
44 | 36 | |
44 | 79 | |
45 | - | - |
46 | 81 | |
47 | - | - |
48 | - | - |
49 | - | - |
50 | 48 | |
51 | - | - |
52 | 60 | |
53 | - | - |
54 | 76 | |
55 | - | - |
56 | 41 | |
57 | - | - |
58 | 63 | |
59 | - | - |
60 | 89 |
Referencias
- ^ Sándor y Crstici (2004) p.384
- ^ Sándor y Crstici (2004) p. 385
- Kaprekar, DR Las matemáticas de los nuevos números propios Devaiali (1963): 19-20.
- RB Patel (1991). "Algunas pruebas para k- números propios". Matemáticas. Estudiante . 56 : 206–210.
- B. Recaman (1974). "Problema E2408". Amer. Matemáticas. Mensual . 81 (4): 407. doi : 10.2307 / 2319017 .
- Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Manual de teoría de números II . Dordrecht: Académico Kluwer. págs. 32–36. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001 .
- Weisstein, Eric W. "Número propio" . MathWorld .