Un espacio semirregular es un espacio topológico cuyos conjuntos abiertos regulares (conjuntos que igualan los interiores de sus cierres) forman una base .
Los espacios semirregulares no deben confundirse con los espacios localmente regulares , espacios en los que existe una base de conjuntos abiertos que inducen subespacios regulares . Por ejemplo, la línea de ojos saltones es localmente regular pero no semirregular.
Definiciones
Conjuntos regulares abiertos y cerrados regulares
Un subconjunto de un espacio topológico se llama un conjunto abierto regular si o de manera equivalente, si dónde (resp. ) denota el límite topológico (resp. interior , cierre ) de en Un subconjunto de es un conjunto abierto regular si y solo si su complemento en es un conjunto cerrado regular, donde por definición un subconjunto de se llama un conjunto cerrado regular si o de manera equivalente, si Todo conjunto abierto regular es necesariamente un conjunto abierto y todo conjunto cerrado regular es necesariamente un conjunto cerrado , aunque en general, [nota 1] lo contrario no es necesariamente cierto.
Cada uno de y es simultáneamente un subconjunto abierto regular y un subconjunto cerrado regular de El interior (tomado en ) de cualquier subconjunto cerrado de es necesariamente un subconjunto abierto regular de e igualmente, el cierre (tomado en ) de cualquier subconjunto abierto de es necesariamente un subconjunto cerrado regular de La intersección (aunque no necesariamente la unión) de dos conjuntos abiertos regulares es una vez más un conjunto abierto regular. De manera similar, la unión (aunque no necesariamente la intersección) de dos conjuntos cerrados regulares es una vez más un conjunto cerrado regular.
Si tiene su topología euclidiana habitual, entonces cada intervalo abierto es un subconjunto abierto regular y cada intervalo cerrado no degenerado (es decir, un intervalo cerrado que contiene al menos dos puntos distintos) es un subconjunto cerrado regular. Cualquier intervalo cerrado degenerado (es decir, un intervalo de la forma que consta de un solo punto) es un subconjunto cerrado de pero no un subconjunto cerrado regular porque su interior es el conjunto vacío así que eso
Espacios semirregulares
Un espacio topológico para el que existe una base que consta de conjuntos abiertos regulares se denomina espacio semirregular . De manera equivalente, es cualquier espacio topológico para el que el conjunto de todos los subconjuntos abiertos regulares forma una base.
Ejemplos y condiciones suficientes
Todo espacio regular es semirregular y todo espacio topológico puede integrarse en un espacio semirregular. [1]
Notas
- ^ Una excepción si elestá dotado de la topología discreta , en cuyo caso cada subconjunto de es un subconjunto abierto regular y un subconjunto cerrado regular de
Ver también
- Lista de topologías
- Espacio regular
- Espacio secuencial : un espacio topológico que se puede caracterizar en términos de secuencias.
Referencias
- ^ Willard, Stephen (2004), "14E. Espacios semirregulares", Topología general , Dover, p. 98, ISBN 978-0-486-43479-7.