En matemáticas, Serre y las subcategorías de localización forman clases importantes de subcategorías de una categoría abeliana . Las subcategorías de localización son ciertas subcategorías de Serre. Están fuertemente vinculados a la noción de categoría de cociente .
Subcategorías de Serre
Dejar ser una categoría abeliana . Una subcategoría completa no vacía se llama una subcategoría de Serre (o también una subcategoría densa ), si para cada breve secuencia exacta en el objeto es en si y solo si los objetos y pertenece a . En palabras: se cierra bajo subobjetos, objetos cocientes y extensiones.
La importancia de esta noción se deriva del hecho de que los núcleos de functores exactos entre categorías abelianas tienen esta propiedad, y que uno puede construir (para localmente pequeños) la categoría del cociente (en el sentido de Gabriel , Grothendieck , Serre ), que tiene los mismos objetos que , es abeliano y viene con un functor exacto (llamado functor de cociente) cuyo núcleo es .
Localización de subcategorías
Dejar ser localmente pequeño. La subcategoría Serrese llama localización , si el cociente functortiene un derecho adjunto . Desde entonces, como adjunto izquierdo, conserva colimits , cada subcategoría de localización se cierra bajo colimits. El functor (o algunas veces ) también se denomina functor de localización , yla sección functor . El functor de sección es exacto a la izquierda y completamente fiel .
Si la categoría abeliana es además cocompleto y tiene cascos inyectivos (por ejemplo, si es una categoría de Grothendieck ), entonces una subcategoría de Serre se está localizando si y solo si está cerrado bajo coproductos arbitrarios (también conocidos como sumas directas). Por tanto, la noción de una subcategoría de localización es equivalente a la noción de una clase de torsión hereditaria .
Si es una categoría de Grothendieck y una subcategoría de localización, luego la categoría de cociente es de nuevo una categoría de Grothendieck.
El teorema de Gabriel-Popescu implica que cada categoría de Grothendieck es la categoría de cociente de una categoría de módulo (con un anillo adecuado ) módulo una subcategoría de localización.
Ver también
Referencias
- Nicolae Popescu ; 1973; Categorías abelianas con aplicaciones a anillos y módulos ; Academic Press, Inc .; agotado.