En la teoría de categorías , un funtor fiel (respectivamente un funtor completo ) es un funtivo que es inyectivo (respectivamente sobreyectivo ) cuando se restringe a cada conjunto de morfismos que tienen una fuente y un objetivo dados.
Definiciones formales
Explícitamente, permiten C y D sean ( localmente pequeñas ) categorías y dejar F : C → D sea un funtor de C a D . El funtor F induce una función
para cada par de objetos X y Y en C . Se dice que el funtor F es
- fiel si F X , Y es inyectivo [1] [2]
- completo si F X , Y es sobreyectiva [2] [3]
- Totalmente fiel (= pleno y fiel ) si F X , Y es biyectiva
para cada X y Y en C .
Propiedades
Un functor fiel no necesita inyectar objetos o morfismos. Es decir, dos objetos X y X ′ pueden mapear al mismo objeto en D (razón por la cual el rango de un funtor completo y fiel no es necesariamente isomorfo a C ), y dos morfismos f : X → Y y f ′: X '→ Y ' (con diferentes dominios / codomains) puede asignar a la misma morfismo en D . Del mismo modo, un funtor completo no necesita ser sobreyectivo en objetos o morfismos. Puede haber objetos en D no de la forma FX para algunos X en C . Morphisms entre tales objetos claramente no pueden venir de morfismos en C .
Un funtor pleno y fiel es necesariamente inyectivo en objetos hasta el isomorfismo. Es decir, si F : C → D es un funtor completo y fiel y luego .
Ejemplos de
- El functor olvidadizo U : Grp → Set es fiel ya que dos homomorfismos de grupo con los mismos dominios y codominios son iguales si están dados por las mismas funciones en los conjuntos subyacentes. Este funtor no está completo ya que hay funciones entre los conjuntos subyacentes de grupos que no son homomorfismos de grupo . Una categoría con un functor fiel a Set es (por definición) una categoría concreta ; en general, ese functor olvidadizo no está completo.
- El functor de inclusión Ab → Grp es completamente fiel, ya que Ab es por definición la subcategoría completa de Grp inducida por los grupos abelianos.
Generalización a (∞, 1) -categorías
La noción de que un functor sea 'completo' o 'fiel' no se traduce en la noción de una categoría (∞, 1). En una categoría (∞, 1), los mapas entre dos objetos cualesquiera están dados por un espacio solo hasta la homotopía. Dado que la noción de inyección y sobreyección no son nociones invariantes de homotopía (considere un intervalo incrustado en los números reales frente a un mapeo de intervalo a un punto), no tenemos la noción de que un funtor sea "completo" o "fiel". Sin embargo, podemos definir un functor de cuasi-categorías para que sea completamente fiel si para cada X e Y en C, el mapaes una equivalencia débil.
Ver también
Notas
Referencias
- Mac Lane, Saunders (septiembre de 1998). Categorías para el matemático que trabaja (segunda ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8.
- Jacobson, Nathan (2009). Álgebra básica . 2 (2ª ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7.