En matemáticas , el cociente (también llamado cociente de Serre o cociente de Gabriel ) de una categoría abeliana por una subcategoría de Serre es la categoría abeliana que, intuitivamente, se obtiene de ignorando (es decir, tratando como cero ) todos los objetos de. Hay un functor exacto canónico cuyo núcleo es .
Definición
Formalmente, es la categoría cuyos objetos son los dey cuyos morfismos de X a Y vienen dados por el límite directo (de grupos abelianos )sobre subobjetos y tal que y . (Aquí, y denotar objetos cocientes calculados en.) Composición de morfismos en es inducida por la propiedad universal del límite directo.
El functor canónico envía un objeto X a sí mismo y un morfismoal elemento correspondiente del límite directo con X ′ = X e Y ′ = 0.
Ejemplos de
Dejar ser un campo y considerar la categoría abelianade todos los espacios vectoriales sobre. Entonces la subcategoría completade espacios vectoriales de dimensión finita es una subcategoría de Serre de. El cociente tiene como objetos el -espacios vectoriales, y el conjunto de morfismos de a en es
Propiedades
El cociente es una categoría abeliana, y el functor canónico es exacto . El núcleo de es , es decir, es un objeto cero de si y solo si pertenece a .
El cociente y el functor canónico se caracterizan por la siguiente propiedad universal: si es cualquier categoría abeliana y es un functor exacto tal que es un objeto cero de para cada objeto , entonces hay un functor exacto único tal que . [1]
Gabriel – Popescu
El teorema de Gabriel-Popescu establece que cualquier categoría de Grothendieck es equivalente a una categoría de cociente , dónde denota la categoría abeliana de módulos derechos sobre algún anillo unital , y es una subcategoría de localización de. [2]
Referencias
- ^ Gabriel, Pierre, Des categorías abeliennes , Bull. Soc. Matemáticas. Francia 90 (1962), 323-448.
- ↑ N. Popesco, P. Gabriel (1964). "Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites inductives exactes". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 258 : 4188–4190.Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )