En matemáticas , el límite de una secuencia de conjuntos A 1 , A 2 , ... ( subconjuntos de un conjunto común X ) es un conjunto cuyos elementos están determinados por la secuencia en cualquiera de dos formas equivalentes: (1) por superior y límites inferiores en la secuencia que convergen monótonamente al mismo conjunto (análogo a la convergencia de secuencias con valores reales ) y (2) por la convergencia de una secuencia de funciones indicadoras que son en sí mismas reales-valorado. Como ocurre con las secuencias de otros objetos, la convergencia no es necesaria ni siquiera habitual.
De manera más general, análoga de nuevo a las secuencias con valores reales, el límite mínimo menos restrictivo y el límite superior de una secuencia determinada siempre existen y pueden utilizarse para determinar la convergencia: el límite existe si el límite mínimo y el límite superior son idénticos. (Vea abajo). Estos límites establecidos son esenciales en la teoría de la medida y la probabilidad .
Es un error común pensar que los límites mínimo y superior descritos aquí involucran conjuntos de puntos de acumulación, es decir, conjuntos de x = lim k → ∞ x k , donde cada x k está en algún A n k . Esto solo es cierto si la convergencia está determinada por la métrica discreta (es decir, x n → x si hay N tal que x n = x para todo n ≥ N ). Este artículo se limita a esa situación, ya que es el único relevante para la teoría de la medida y la probabilidad. Vea los ejemplos a continuación. (Por otro lado, existen nociones topológicas más generales de convergencia de conjuntos que involucran puntos de acumulación bajo diferentes métricas o topologías ).
Definiciones
Las dos definiciones
Suponer que es una secuencia de conjuntos. Las dos definiciones equivalentes son las siguientes.
- Usando unión e intersección : definir [1]
- y
- Si estos dos conjuntos son iguales, entonces el límite de la teoría de conjuntos de la secuencia A n existe y es igual a ese conjunto común. Cualquiera de los conjuntos descritos anteriormente se puede utilizar para obtener el límite, y puede haber otros medios para obtener el límite también.
- Usando funciones indicadoras : sea 1 A n ( x ) igual a 1 si x está en A n , y 0 en caso contrario. Definir [1]
- y
- donde las expresiones dentro de los corchetes de la derecha son, respectivamente, el límite mínimo y el límite superior de la secuencia de valores reales 1 A n ( x ). Nuevamente, si estos dos conjuntos son iguales, entonces el límite de la teoría de conjuntos de la secuencia A n existe y es igual a ese conjunto común, y cualquiera de los conjuntos descritos anteriormente se puede usar para obtener el límite.
Para ver la equivalencia de las definiciones, considere el límite mínimo. El uso de la ley de De Morgan a continuación explica por qué esto es suficiente para el límite superior. Dado que las funciones indicadoras toman solo los valores 0 y 1, lim inf n → ∞ 1 A n ( x ) = 1 si y solo si 1 A n (x) toma el valor 0 solo un número finito de veces. Equivalentemente,si y solo si existe n tal que el elemento está en A m para cada m ≥ n , es decir si y solo si x ∉ A n solo para un número finito de n .
Por lo tanto, x está en el límite inf n → ∞ A n sif x está en todos menos en un número finito de A n . Por esta razón, una frase abreviada para el límite mínimo es " x ∈ A n casi siempre, pero con una frecuencia finita", normalmente expresada por o por " A n abfo".
De manera similar, un elemento x está en el límite superior si, sin importar cuán grande sea n, existe m ≥ n tal que el elemento está en A m . Es decir, x está en el límite superior si f x está en infinitos A n . Por esta razón, una frase abreviada para el límite superior es " x ∈ A n infinitamente a menudo", normalmente expresada por " A n io".
Para decirlo de otra manera, el límite infimum consiste en elementos que "eventualmente se quedan para siempre" (están en cada conjunto después de una n ), mientras que el límite supremum consiste en elementos que "nunca se van para siempre" (están en algún conjunto después de cada n ). .
Secuencias monótonas
Se dice que la secuencia ( A n ) no es creciente si A n +1 ⊆ A n para cada n , y no decreciente si A n ⊆ A n +1 para cada n . En cada uno de estos casos existe el límite establecido. Considere, por ejemplo, una secuencia no creciente ( A n ). Luego
De estos se sigue que
De manera similar, si ( A n ) no es decreciente, entonces
Propiedades
- Si el límite de 1 A n ( x ), cuando n llega al infinito, existe para todo x, entonces
- De lo contrario, el límite para ( A n ) no existe.
- Se puede demostrar que el límite mínimo está contenido en el límite superior:
- por ejemplo, simplemente observando que x ∈ A n casi siempre, excepto de manera finita, implica que x ∈ A n infinitamente a menudo.
- Usando la monotonicidad de y de ,
- Al usar la ley de De Morgan dos veces, con complemento de conjunto A c = X \ A ,
- Es decir, x ∈ A n casi siempre es lo mismo que x ∉ A n con frecuencia finita.
- De la segunda definición anterior y las definiciones de límite mínimo y límite superior de una secuencia de valor real,
- y
- Suponer es una σ-álgebra de subconjuntos de X . Es decir,no está vacío y está cerrado bajo complemento y bajo uniones e intersecciones de innumerables conjuntos. Entonces, según la primera definición anterior, si cada A n ∈entonces tanto lim inf n → ∞ A n como lim sup n → ∞ A n son elementos de.
Ejemplos de
- Sea A n = (−1 / n , 1 - 1 / n ] . Entonces
- y
- Entonces lim n → ∞ A n = [0, 1) existe.
- Cambie el ejemplo anterior a A n = ((−1) n / n , 1 - (−1) n / n ] . Luego
- y
- Entonces lim n → ∞ A n no existe, a pesar del hecho de que los extremos izquierdo y derecho de los intervalos convergen en 0 y 1, respectivamente.
- Sea A n = {0, 1 / n , 2 / n , ..., ( n −1) / n , 1 }. Luego
- (que son todos los números racionales entre 0 y 1, inclusive) ya que incluso para j < n y 0 ≤ k ≤ j , k / j = ( nk ) / ( nj ) es un elemento de lo anterior. Por lo tanto,
- Por otro lado,
- lo que implica
- En este caso, la secuencia A 1 , A 2 , ... no tiene límite. Tenga en cuenta que lim sup n → ∞ A n no es el conjunto de puntos de acumulación, que sería el intervalo completo [0, 1] (de acuerdo con la métrica euclidiana habitual ).
Usos de probabilidad
Los límites establecidos, en particular el límite mínimo y el límite superior, son esenciales para la teoría de la probabilidad y la medida . Estos límites se utilizan para calcular (o probar) las probabilidades y medidas de otros conjuntos más útiles. Para el siguiente,es un espacio de probabilidad , lo que significaes una σ-álgebra de subconjuntos de y es una medida de probabilidad definida en esa σ-álgebra. Los conjuntos en el σ-álgebra se conocen como eventos .
Si A 1 , A 2 , ... es una secuencia monótona de eventos enentonces lim n → ∞ A n existe y
Lemas de Borel-Cantelli
En probabilidad, los dos lemas de Borel-Cantelli pueden ser útiles para mostrar que el límite de una secuencia de eventos tiene una probabilidad igual a 1 o 0. El enunciado del primer lema de Borel-Cantelli (original) es
El segundo lema de Borel-Cantelli es un inverso parcial:
Convergencia casi segura
Una de las aplicaciones más importantes de la probabilidad es demostrar la convergencia casi segura de una secuencia de variables aleatorias . El evento de que una secuencia de variables aleatorias Y 1 , Y 2 , ... converja a otra variable aleatoria Y se expresa formalmente como. Sin embargo, sería un error escribir esto simplemente como una serie de eventos. Es decir, este no es el evento.! En cambio, el complemento del evento es
Por lo tanto,