Teoría de conjuntos de la recta real

La teoría de conjuntos de la línea real es un área de las matemáticas relacionada con la aplicación de la teoría de conjuntos a aspectos de los números reales .

Por ejemplo, se sabe que todos los conjuntos contables de reales son nulos , es decir, tienen la medida de Lebesgue 0; por lo tanto, se podría pedir el tamaño mínimo posible de un conjunto que no sea nulo de Lebesgue. Esta invariante se denomina uniformidad del ideal de conjuntos nulos, denotada por . Hay muchas de estas invariantes asociadas con este y otros ideales, por ejemplo, el ideal de los conjuntos exiguos , y más que no tienen una caracterización en términos de ideales. Si se cumple la hipótesis del continuo (CH), entonces todos esos invariantes son iguales a , el cardinal menos incontable . Por ejemplo, sabemos que es incontable $non({\mathcal {N}})$ ${\ estilo de visualización \ aleph _ {1}}$ $non({\mathcal {N}})$ , pero siendo del tamaño de algún conjunto de reales bajo CH puede ser como mucho . ${\ estilo de visualización \ aleph _ {1}}$

Por otro lado, si se asume el Axioma de Martin (MA), todos los invariantes comunes son "grandes", es decir , la cardinalidad del continuo . El axioma de Martin es consistente con . De hecho, uno debe ver el Axioma de Martin como un axioma de forzamiento que niega la necesidad de hacer forzamientos específicos de cierta clase (aquellos que satisfacen el ccc , ya que la consistencia de MA con un continuo grande se prueba haciendo todos esos forzamientos (hasta un cierto tamaño cada invariante puede hacerse grande mediante algún forzamiento ccc, por lo que cada invariante es grande dado MA. ${\mathfrak{c}}$ ${\mathfrak {c}}>\aleph_{1}$

Si uno se restringe a forzamientos específicos, algunos invariantes se volverán grandes mientras que otros permanecerán pequeños. Analizar estos efectos es el principal trabajo del área, buscando determinar qué desigualdades entre invariantes son demostrables y cuáles son inconsistentes con ZFC. Las desigualdades entre los ideales de medida (conjuntos nulos) y categoría (conjuntos escasos) se capturan en el diagrama de Cichon . Se produjeron diecisiete modelos (construcciones forzadas) durante la década de 1980, comenzando con el trabajo de Arnold Miller, para demostrar que no se pueden demostrar otras desigualdades. Estos se analizan en detalle en el libro de Tomek Bartoszynski y Haim Judah, dos de los eminentes trabajadores en el campo.

Un resultado curioso es que si puede cubrir la línea real con conjuntos exiguos (donde ), entonces ; a la inversa, si puede cubrir la línea real con conjuntos nulos, entonces el conjunto menos no escaso tiene un tamaño mínimo ; ambos resultados se derivan de la existencia de una descomposición de como la unión de un conjunto exiguo y un conjunto nulo. ${\ estilo de visualización \ kappa}$ $\aleph _{1}\leq \kappa \leq {\mathfrak {c}}$ $non({\mathcal {N}})\geq \kappa$ ${\ estilo de visualización \ kappa}$ ${\ estilo de visualización \ kappa}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R}}$