En matemáticas , una secuencia de n números reales pueden ser entendidas como una ubicación en n - dimensional espacio. Cuando n = 7, el conjunto de todas esas ubicaciones se denomina espacio de 7 dimensiones . A menudo, dicho espacio se estudia como un espacio vectorial , sin ninguna noción de distancia. El espacio euclidiano de siete dimensiones es un espacio de siete dimensiones equipado con una métrica euclidiana , que se define por el producto escalar . [ disputado ]
De manera más general, el término puede referirse a un espacio vectorial de siete dimensiones sobre cualquier campo , como un espacio vectorial complejo de siete dimensiones , que tiene 14 dimensiones reales. También puede referirse a una variedad de siete dimensiones , como una esfera de siete , o una variedad de otras construcciones geométricas.
Los espacios de siete dimensiones tienen una serie de propiedades especiales, muchas de ellas relacionadas con los octoniones . Una propiedad especialmente distintiva es que un producto cruzado se puede definir solo en tres o siete dimensiones. Esto está relacionado con el teorema de Hurwitz , que prohíbe la existencia de estructuras algebraicas como los cuaterniones y octoniones en dimensiones distintas de 2, 4 y 8. Las primeras esferas exóticas jamás descubiertas fueron de siete dimensiones.
Geometría
7 politopos
Un politopo en siete dimensiones se llama 7-politopo. Los más estudiados son los politopos regulares , de los cuales solo hay tres en siete dimensiones : el 7-simplex , 7-cube y 7-ortoplex . Una familia más amplia son los 7-politopos uniformes , construidos a partir de dominios de reflexión de simetría fundamental, cada dominio definido por un grupo Coxeter . Cada politopo uniforme está definido por un diagrama de Coxeter-Dynkin anillado . El 7-demicube es un politopo único de la familia D 7 , y los politopos 3 21 , 2 31 y 1 32 de la familia E 7 .
A 6 | B 7 | D 7 | E 7 | |||
---|---|---|---|---|---|---|
7-simplex {3,3,3,3,3,3} | 7 cubos {4,3,3,3,3,3} | 7-ortoplex {3,3,3,3,3,4} | 7-demicubo = h {4,3,3,3,3,3} = {3,3 4,1 } | 3 21 {3,3,3,3 2,1 } | 2 31 {3,3,3 3,1 } | 1 32 {3,3 3,2 } |
6 esferas
La 6-esfera o hiperesfera en el espacio euclidiano de siete dimensiones es la superficie de seis dimensiones equidistante de un punto, por ejemplo, el origen. Tiene el símbolo S 6 , con definición formal para la esfera 6 con radio r de
El volumen del espacio delimitado por esta 6-esfera es
que es 4.72477 × r 7 , o 0.0369 del cubo de 7 que contiene la esfera de 6
Aplicaciones
Producto cruzado
Un producto cruzado, que es un producto vectorial, bilineal , anticomutativo y ortogonal de dos vectores, se define en siete dimensiones. Junto con el producto cruzado más habitual en tres dimensiones, es el único producto de este tipo, a excepción de los productos triviales.
Esferas exoticas
En 1956, John Milnor construyó una esfera exótica en 7 dimensiones y demostró que hay al menos 7 estructuras diferenciables en la 7-esfera. En 1963 demostró que el número exacto de tales estructuras es 28.
Ver también
- Geometría euclidiana
- Lista de temas de geometría
- Lista de politopos regulares
Referencias
- HSM Coxeter: Politopos regulares. Dover, 1973
- JW Milnor: En variedades homeomorfas a las 7 esferas. Annals of Mathematics 64, 1956
enlaces externos
- "Geometría euclidiana" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]