Onda de Shannon

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En el análisis funcional , una ondícula de Shannon puede ser de tipo real o complejo . El análisis de señales mediante filtros de paso de banda ideales define una descomposición conocida como ondas de Shannon (o ondas sinc ). Los sistemas Haar y sinc son dobles de Fourier entre sí.

Onda real de Shannon

Onda real de Shannon

La transformada de Fourier de la ondícula madre de Shannon viene dada por:

${\displaystyle \Psi ^{(\operatorname {Sha} )}(w)=\prod \left({\frac {w-3\pi /2}{\pi }}\right)+\prod \left({\frac {w+3\pi /2}{\pi }}\right).}$

donde la función de puerta (normalizada) está definida por

${\displaystyle \prod (x):={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}{|x|\leq 1/2},\\0&{\mbox{if }}{\mbox{otherwise}}.\\\end{cases}}}$

La expresión analítica de la ondícula de Shannon real se puede encontrar tomando la transformada de Fourier inversa :

${\displaystyle \psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {3\pi t}{2}}\right)}$

o alternativamente como

${\displaystyle \psi ^{(\operatorname {Sha} )}(t)=2\cdot \operatorname {sinc} (2t)-\operatorname {sinc} (t),}$

donde

${\displaystyle \operatorname {sinc} (t):={\frac {\sin {\pi t}}{\pi t}}}$

es la función sinc habitual que aparece en el teorema de muestreo de Shannon .

Esta ondícula pertenece a la clase de diferenciabilidad , pero disminuye lentamente en el infinito y no tiene soporte acotado , ya que las señales de banda limitada no pueden tener un límite de tiempo.${\displaystyle C^{\infty }}$

La función de escala para Shannon MRA (o Sinc -MRA) viene dada por la función de muestra:

${\displaystyle \phi ^{(Sha)}(t)={\frac {\sin \pi t}{\pi t}}=\operatorname {sinc} (t).}$

Onda de Shannon compleja

En el caso de una ondícula continua compleja , la ondícula de Shannon se define por

${\displaystyle \psi ^{(CSha)}(t)=\operatorname {sinc} (t)\cdot e^{-j2\pi t}}$,

Referencias

• SG Mallat, Un recorrido Wavelet por el procesamiento de señales , Academic Press, 1999, ISBN  0-12-466606-X
• CS Burrus , RA Gopinath, H. Guo, Introducción a las wavelets y las transformadas Wavelet: A Primer , Prentice-Hall, 1988, ISBN 0-13-489600-9 .