En matemáticas , el teorema de Siegel sobre puntos integrales establece que para una curva algebraica suave C de género g definida sobre un campo numérico K , presentado en un espacio afín en un sistema de coordenadas dado, solo hay un número finito de puntos en C con coordenadas en el anillo de enteros O de K , siempre que g > 0.
El teorema fue probado por primera vez en 1929 por Carl Ludwig Siegel y fue el primer resultado importante de las ecuaciones diofánticas que dependían solo del género y no de ninguna forma algebraica especial de las ecuaciones. Para g > 1 fue reemplazado por el teorema de Faltings en 1983.
Historia
En 1929, Siegel demostró el teorema combinando una versión del teorema de Thue-Siegel-Roth , de aproximación diofántica , con el teorema de Mordell-Weil de geometría diofántica (requerido en la versión de Weil, para aplicar a la variedad jacobiana de C ).
En 2002, Umberto Zannier y Pietro Corvaja dieron una nueva demostración utilizando un nuevo método basado en el teorema del subespacio . [1]
Versiones efectivas
El resultado de Siegel fue ineficaz (ver resultados efectivos en teoría de números ), ya que el método de Thue en aproximación diofántica también es ineficaz para describir posibles aproximaciones racionales muy buenas a números algebraicos . En algunos casos, los resultados efectivos se derivan del método de Baker .
Referencias
- ^ Corvaja, P. y Zannier, U. "Un enfoque del teorema del subespacio para puntos integrales en curvas", Compte Rendu Acad. Sci., 334, 2002, págs. 267–271 doi : 10.1016 / S1631-073X (02) 02240-9
- Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). Alturas en geometría diofántica . Nuevas monografías matemáticas. 4 . Prensa de la Universidad de Cambridge . doi : 10.2277 / 0521846153 . ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034 .
- Lang, Serge (1978). Curvas elípticas: análisis diofantino . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 231 . págs. 128-153. ISBN 3-540-08489-4. Zbl 0388.10001 .
- Siegel, Carl Ludwig (1929). "Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften (en alemán).