En matemáticas , el semiespacio superior de Siegel de grado g (o género g ) (también llamado semiplano superior de Siegel ) es el conjunto de matrices simétricas g × g sobre los números complejos cuya parte imaginaria es definida positiva . Fue introducido por Siegel ( 1939 ).
El semiespacio superior de Siegel tiene propiedades como una variedad compleja que generaliza las propiedades del semiplano superior , que es el semiespacio superior de Siegel en el caso especial g = 1 . El grupo de automorfismos que preservan la estructura compleja de la variedad es isomorfo al grupo simpléctico Sp (2 g , C ) . Así como la métrica hiperbólica bidimensional es la métrica única (hasta escala) en el semiplano superior cuyo grupo de isometría es el grupo de automorfismo complejo SL (2, C ) = Sp (2, C ), el semiespacio superior de Siegel tiene solo una métrica hasta la escala cuyo grupo de isometría es Sp (2 g , C ) . Escribiendo una matriz genérica Z en el semiespacio superior de Siegel en términos de sus partes real e imaginaria como Z = X + iY , todas las métricas con grupo de isometría Sp (2 g , C ) son proporcionales a
El semiplano superior de Siegel se puede identificar con el conjunto de estructuras domesticadas casi complejas compatibles con una estructura simpléctica , en el subyacente espacio vectorial real dimensional , es decir, el conjunto de tal que y para todos los vectores [1]
Ver también
- Dominio de Siegel , una generalización del espacio de la mitad superior de Siegel
- Forma modular Siegel , un tipo de forma automórfica definida en el semiespacio superior Siegel
- Variedad modular Siegel , un espacio modular construido como un cociente del semiespacio superior Siegel
- Módulos de variedades abelianas
Referencias
- ^ Bowman
- Bowman, Joshua P. "Algunos resultados elementales en el semiplano Siegel" (PDF) ..
- van der Geer, Gerard (2008), "Siegel modulares y sus aplicaciones", en Ranestad, Kristian (ed.), El 1-2-3 de las formas modulares , Universitext, Berlín: Springer-Verlag , págs. 181–245 , doi : 10.1007 / 978-3-540-74119-0 , ISBN 978-3-540-74117-6, MR 2409679
- Nielsen, Frank (2020), "Geometría de Hilbert del disco de Siegel: el modelo de disco de Siegel-Klein", arXiv : 2004.08160 [ cs.CG ]
- Siegel, Carl Ludwig (1939), "Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades", Mathematische Annalen , 116 : 617–657, doi : 10.1007 / BF01597381 , ISSN 0025-5831 , MR 0001251 , S2CID 124337559