Número de Sierpiński
En teoría de números , un número de Sierpiński es un número natural impar k tal que es compuesto para todos los números naturales n . En 1960, Wacław Sierpiński demostró que existen infinitos números enteros impares k que tienen esta propiedad.
Si en cambio la forma es , entonces k es un número de Riesel .
John Selfridge demostró que el número 78557 era un número de Sierpiński en 1962, quien demostró que todos los números de la forma 78557⋅2 n + 1 tienen un factor en el conjunto de cobertura {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 }. Para otro número de Sierpiński conocido, 271129, el conjunto de cobertura es {3, 5, 7, 13, 17, 241 }. La mayoría de los números de Sierpiński actualmente conocidos poseen conjuntos de cobertura similares. [1]
Sin embargo, en 1995, AS Izotov demostró que se podía demostrar que algunas cuartas potencias eran números de Sierpiński sin establecer un conjunto de cobertura para todos los valores de n . Su demostración depende de la factorización aurifeuilleana t 4 ⋅2 4 m +2 + 1 = ( t 2 ⋅2 2 m +1 + t ⋅2 m +1 + 1)⋅( t 2 ⋅2 2 m +1 - t ⋅ 2m + 1 +1) . Esto establece que todo n ≡ 2 (mod 4)dan lugar a un compuesto, por lo que queda eliminar solo n ≡ 0, 1, 3 (mod 4) utilizando un conjunto de cobertura. [2]
El problema de Sierpiński pide el valor del número de Sierpiński más pequeño. En correspondencia privada con Paul Erdős , Selfridge conjeturó que 78.557 era el número más pequeño de Sierpiński. [3] No se han descubierto números de Sierpiński más pequeños, y ahora se cree que 78.557 es el número más pequeño. [4]
Para demostrar que 78 557 es realmente el número de Sierpiński más pequeño, se debe demostrar que todos los números impares menores que 78 557 no son números de Sierpiński. Es decir, por cada k impar por debajo de 78.557, debe existir un entero positivo n tal que k 2 n + 1 sea primo. [1] A diciembre de 2021 [actualizar], solo hay cinco candidatos que no han sido eliminados como posibles números de Sierpiński: [5]