En matemáticas , un número de Riesel es un número natural impar k para el cuales compuesto para todos los números naturales n (secuencia A101036 en la OEIS ). En otras palabras, cuando k es un número de Riesel, todos los miembros del siguiente conjunto son compuestos:
Si el formulario es en cambio , entonces k es un número de Sierpinski .
Problema de Riesel
¿Es 509,203 el número más pequeño de Riesel?
En 1956, Hans Riesel demostró que hay un número infinito de enteros k tales queno es primo para ningún número entero n . Mostró que el número 509203 tiene esta propiedad, al igual que 509203 más cualquier múltiplo entero positivo de 11184810. [1] El problema de Riesel consiste en determinar el número de Riesel más pequeño. Debido a que no se ha encontrado ningún conjunto de cobertura para ningún k menor que 509203, se conjetura que es el número de Riesel más pequeño.
Para comprobar si hay k <509203, el proyecto Riesel Sieve (análogo a Seventeen o Bust para los números de Sierpinski ) comenzó con 101 k candidato . A enero de 2021, 53 de estos k habían sido eliminados por Riesel Sieve, PrimeGrid o personas externas. [2] Los 48 valores restantes de k que han arrojado solo números compuestos para todos los valores de n hasta ahora probados son
- 2293, 9221, 23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 93839, 97139, 107347, 121889, 129007, 143047, 161669, 192971, 206039, 206231, 215443, 226153, 234343, 24555961, 250027, 31 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557, 4947
La eliminación más reciente fue en noviembre de 2020, cuando PrimeGrid descubrió que 146561 × 2 11280802 - 1 era el principal. Este número tiene 3.395.865 dígitos. [3]
A partir de enero de 2021, PrimeGrid ha buscado a los candidatos restantes hasta n = 11,300,000. [4]
Números conocidos de Riesel
La secuencia de números de Riesel actualmente conocidos comienza con:
Juego de cubierta
Se puede demostrar que un número es un número de Riesel al exhibir un conjunto de cobertura : un conjunto de números primos que dividirán a cualquier miembro de la secuencia, llamado así porque se dice que "cubre" esa secuencia. Los únicos números de Riesel probados por debajo de un millón tienen conjuntos de cobertura de la siguiente manera:
- tiene un conjunto de cobertura {3, 5, 7, 13, 17, 241}
- tiene un conjunto de cobertura {3, 5, 7, 13, 17, 241}
- tiene un conjunto de cobertura {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
- tiene un conjunto de cobertura {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
- tiene el conjunto de cobertura {3, 5, 7, 13, 17, 241}.
El n más pequeño para el cual k · 2 n - 1 es primo
Aquí hay una secuencia para k = 1, 2, .... Se define de la siguiente manera:es el menor n ≥ 0 tal que es primo, o -1 si no existe tal primo.
- 2, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 3, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 4, 0, 3, 2, 1, 3, 4, 0, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 3, 1, 2, 0, 7, 0, 1, 3, 4, 0, 1, 2, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 3, 12, 0, 3, 0, 2, 1, 4, 1, 5, 0, 1, 1, 2, 0, 7, 0, 1, ... (secuencia A040081 en la OEIS ). La primera n desconocida es para ese k = 2293.
Las secuencias relacionadas son OEIS : A050412 (no permite n = 0), para k impares , consulte OEIS : A046069 o OEIS : A108129 (no permite n = 0)
Simultáneamente Riesel y Sierpiński
Un número puede ser simultáneamente Riesel y Sierpiński . Estos se llaman números de Brier. Los cinco ejemplos más pequeños conocidos son 3316923598096294713661, 10439679896374780276373, 11615103277955704975673, 12607110588854501953787, 17855036657007596110949, ... ( A076335 ). [5]
El problema del doble Riesel
Los números duales de Riesel se definen como los números naturales impares k tales que | 2 n - k | es compuesto para todos los números naturales n . Existe la conjetura de que el conjunto de estos números es el mismo que el conjunto de números de Riesel. Por ejemplo, | 2 n - 509203 | es compuesto para todos los números naturales n , y se conjetura que 509203 es el número dual de Riesel más pequeño.
Los n más pequeños de los que 2 n - k son primos son (para k impares , y esta secuencia requiere que 2 n > k )
- 2, 3, 3, 39, 4, 4, 4, 5, 6, 5, 5, 6, 5, 5, 5, 7, 6, 6, 11, 7, 6, 29, 6, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 6, 6, 8, 8, 7, 7, 10, 9, 7, 8, 9, 7, 8, 7, 7, 8, 7, 8, 10, 7, 7, 26, 9, 7, 8, 7, 7, 10, 7, 7, 8, 7, 7, 7, 47, 8, 14, 9, 11, 10, 9, 10, 8, 9, 8, 8, ... (secuencia A096502 en la OEIS )
Los k impares que k - 2 n son todos compuestos para todos 2 n < k (los números de Polignac ) son
- 1, 127, 149, 251, 331, 337, 373, 509, 599, 701, 757, 809, 877, 905, 907, 959, 977, 997, 1019, 1087, 1199, 1207, 1211, 1243, 1259, 1271, 1477, ... (secuencia A006285 en la OEIS )
Los valores desconocidos [ aclaración necesaria ] de k s son (para los cuales 2 n > k )
- 1871, 2293, 25229, 31511, 36971, 47107, 48959, 50171, 56351, 63431, 69427, 75989, 81253, 83381, 84491, ...
Base numérica de riesel b
Se puede generalizar el problema de Riesel a una base entera b ≥ 2. Una base numérica de Riesel b es un entero positivo k tal que mcd ( k - 1, b - 1) = 1. (si mcd ( k - 1, b - 1 )> 1, entonces mcd ( k - 1, b - 1) es un factor trivial de k × b n - 1 (Definición de factores triviales para las conjeturas: todos y cada uno de los valores n tienen el mismo factor)) [6] [7] Para cada entero b ≥ 2, hay infinitos números de Riesel base b .
Ejemplo 1: Todos los números congruentes con 84687 mod 10124569 y no congruentes con 1 mod 5 son números de Riesel en base 6, debido al conjunto de cobertura {7, 13, 31, 37, 97}. Además, estos k no son triviales ya que mcd ( k + 1, 6 - 1) = 1 para estos k . (La conjetura de la base 6 de Riesel no está probada, le quedan 3 k , a saber, 1597, 9582 y 57492)
Ejemplo 2: 6 es un número de Riesel para todas las bases b congruente con 34 mod 35, porque si b es congruente con 34 mod 35, entonces 6 × b n - 1 es divisible por 5 para todos los n pares y divisible por 7 para todos los impares. n . Además, 6 no es trivial k en estas bases b ya que mcd (6 - 1, b - 1) = 1 para estas bases b .
Ejemplo 3: Todos los cuadrados k congruentes con 12 mod 13 y no congruentes con 1 mod 11 son números de Riesel base 12, ya que para todos esos k , k × 12 n - 1 tiene factores algebraicos para todos n pares y divisible por 13 para todos los impares n . Además, estos k no son triviales ya que mcd ( k + 1, 12 - 1) = 1 para estos k . (La conjetura de Riesel en base 12 está probada)
Ejemplo 4: Si k está entre un múltiplo de 5 y un múltiplo de 11, entonces k × 109 n - 1 es divisible por 5 u 11 para todos los enteros positivos n . Los primeros k son 21, 34, 76, 89, 131, 144, ... Sin embargo, todos estos k <144 también son k triviales (es decir, mcd ( k - 1, 109 - 1) no es 1). Por lo tanto, la base del número 109 de Riesel más pequeña es 144 (la conjetura de la base 109 de Riesel no está probada, tiene una k restante , es decir, 84)
Ejemplo 5: Si k es cuadrado, entonces k × 49 n - 1 tiene factores algebraicos para todos los enteros positivos n . Los primeros cuadrados positivos son 1, 4, 9, 16, 25, 36, ... Sin embargo, todos estos k <36 también son triviales k (es decir, mcd ( k - 1, 49 - 1) no es 1). Por lo tanto, el número más pequeño de Riesel en base 49 es 36 (la conjetura de Riesel en base 49 está probada)
Queremos encontrar y probar la base numérica b de Riesel más pequeña para cada entero b ≥ 2. Es una conjetura que si k es una base numérica de Riesel b , entonces se cumple al menos una de las tres condiciones:
- Todos los números de la forma k × b n - 1 tienen un factor en algún conjunto de cobertura. (Por ejemplo, b = 22, k = 4461, entonces todos los números de la forma k × b n - 1 tienen un factor en el conjunto de cobertura: {5, 23, 97})
- k × b n - 1 tiene factores algebraicos. (Por ejemplo, b = 9, k = 4, luego k × b n - 1 se puede factorizar en (2 × 3 n - 1) × (2 × 3 n + 1))
- Para algunos n , los números de la forma k × b n - 1 tienen un factor en algún conjunto de cobertura; y para todos los demás n , k × b n - 1 tiene factores algebraicos. (Por ejemplo, b = 19, k = 144, entonces si n es impar, entonces k × b n - 1 es divisible por 5, si n es par, entonces k × b n - 1 se puede factorizar en (12 × 19 n / 2 - 1) × (12 × 19 n / 2 + 1))
En la siguiente lista, solo consideramos aquellos enteros positivos k tales que mcd ( k - 1, b - 1) = 1, y todo entero n debe ser ≥ 1.
Nota: los valores k que son múltiplos de by donde k −1 no es primo se incluyen en las conjeturas (y se incluyen en el resto de k con color rojo si no se conocen primos para estos valores k ) pero se excluyen de la prueba ( Por lo tanto, nunca sea el k de los "5 primos más grandes encontrados"), ya que dichos valores k tendrán el mismo número primo que k / b .
B | conjetura más pequeño Riesel k | cubriendo factores conjuntos / algebraicos | restante k sin números primos conocidos (rojo indica los k -valores que son un múltiplo de b y k -1 no es primo) | número de k restantes sin primos conocidos (excluyendo los k rojos ) | límite de prueba de n (excluyendo los k rojos ) | los 5 primos más grandes encontrados (excluyendo los k rojos ) |
2 | 509203 | {3, 5, 7, 13, 17, 241} | 2293, 4586 , 9172 , 9221, 18344 , 18442 , 23669, 31859, 36688 , 36884 , 38473, 46663, 47338 , 63718 , 67117, 73376 , 73768 , 74699, 76946 , 81041, 93326 , 93839, 94676 , 97139, 107347, 121889, 127436 , 129007, 134234 , 143047, 146561, 146752 , 147536 , 149398 , 153892 , 161669, 162082 , 186652 , 187678 , 189352 , 192971, 194278 , 206039, 206231, 214694 , 215443, 226153, 234343, 243778 , 245561, 250027, 254872 , 258014 , 268468 , 286094 , 293122 , 293504 , 295072 , 298796 , 307784 , 315929, 319511, 323338 , 324011, 324164 , 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 351134, 362609, 363343 368411, 371893, 373304 , 375356 , 378704 , 384539, 385942 , 386801, 388556 , 397027, 409753, 412078 , 412462 , 429388 , 430886 , 444637, 452306 , 468686 , 470173, 474491, 477583, 478214, 485557, 487556 , 491122 , 494743, 500054 | 49 | k = 351134 y 478214 en n = 4.7M, k = 342847 y 444637 en n = 10M. PrimeGrid está buscando actualmente todos los demás k s en n > 8.9M | 273809 × 2 8932416 -1 [8] 502573 × 2 7181987 −1 402539 × 2 7173024 −1 40597 × 2 6808509 −1 304207 × 2 6643565 −1 |
3 | 63064644938 | {5, 7, 13, 17, 19, 37, 41, 193, 757} | 3677878, 6793112, 10463066, 10789522, 11033634 , 16874152, 18137648, 20379336 , 21368582, 29140796, 31064666, 31389198 , 32368566 , 33100902 , 38394682, 40175404, 40396658, 50622456 , 51672206, 52072432, 54412944 , 56244334, 59077924, 59254534, 61138008 , 62126002, 62402206, 64105746 , 65337866, 71248336, 87422388 , 88126834, 93193998 , 94167594 , 94210372, 97105698 , 97621124, 99302706 , ... | 150322 | k = 3677878 en n = 5M, 4M < k ≤ 2.147G en n = 900K, 2.147G < k ≤ 6G en n = 500K, 6G < k ≤ 10G en n = 225K, 10G < k ≤ 25G en n = 100K, 25G < k ≤ 55G en n = 50K, 55G < k ≤ 60G en n = 100K, 60G < k ≤ 63G en n = 50K, k > 63G en n = 500K | 756721382 × 3 899698 −1 1552470604 × 3 896735 −1 698408584 × 3 891823 −1 1237115746 × 3 879941 −1 10691528 × 3 877546 −1 |
4 | 9 | 9 × 4 norte - 1 = (3 × 2 norte - 1) × (3 × 2 norte + 1) | ninguno (probado) | 0 | - | 8 × 4 1 −1 6 × 4 1 −1 5 × 4 1 −1 3 × 4 1 −1 2 × 4 1 −1 |
5 | 346802 | {3, 7, 13, 31, 601} | 3622, 4906, 18110 , 23906, 24530 , 26222, 35248, 52922, 63838, 64598, 68132, 71146, 76354, 81134, 88444, 90550 , 92936, 102818, 102952, 109238, 109862, 119530 , 122650 , 127174, 131110 , 131848, 134266, 136804, 143632, 145462, 145484, 146756, 147844, 151042, 152428, 154844, 159388, 164852, 170386, 170908 , 176240, 177742 , 179080, 182398, 187916, 189766, 190334, 1958724, 201778, 206894, 213988, 231674, 239062, 239342, 246238, 248546, 259072, 264610 , 265702, 267298, 271162, 273662, 285598, 285728, 298442, 304004, 313126, 318278, 319190 , 322498, 325988 , 3354, 322498, 3329966 340660 | 62 | PrimeGrid está probando actualmente en n> 3M | 109838 × 5 3168862 -1 [9] 207494 × 5 3017502 -1 [10] |
6 | 84687 | {7, 13, 31, 37, 97} | 1597, 9582 , 57492 | 1 | 5M | 36772 × 6 1723287 −1 43994 × 6 569498 −1 77743 × 6 560745 −1 51017 × 6 528803 −1 57023 × 6 483561 −1 |
7 | 408034255082 | {5, 13, 19, 43, 73, 181, 193, 1201} | 315768, 1356018, 1620198, 2096676, 2210376 , 2494112, 2539898, 2631672, 3423408, 3531018, 3587876, 3885264, 4322834, 4326672, 4363418, 4382984, 4635222, 4780002, 4870566, 517, 499076088 6463028, 6544614, 6597704, 7030248, 7115634, 7320606, 7446728, 7553594, 8057622, 8354966, 8389476, 8640204, 8733908, 8737902, 9012942 , 9492126, 9761156, 9829784, ..., 9871172 | 8391 k s ≤ 500 M | k ≤ 2M en n = 350K, 2M < k ≤ 110M en n = 150K, 110M < k ≤ 500M en n = 25K | 328226 × 7 298243 −1 623264 × 7 240060 −1 1365816 × 7 232094 −1 839022 × 7 190538 −1 29142942 × 7 149201 −1 |
8 | 14 | {3, 5, 13} | ninguno (probado) | 0 | - | 11 × 8 18 −1 5 × 8 4 −1 12 × 8 3 −1 7 × 8 3 −1 2 × 8 2 −1 |
9 | 4 | 4 × 9 norte - 1 = (2 × 3 norte - 1) × (2 × 3 norte + 1) | ninguno (probado) | 0 | - | 2 × 9 1 −1 |
10 | 10176 | {7, 11, 13, 37} | 4421 | 1 | 1,72 millones | 7019 × 10 881309 −1 8579 × 10 373260 −1 6665 × 10 60248 −1 1935 × 10 51836 −1 1803 × 10 45882 −1 |
11 | 862 | {3, 7, 19, 37} | ninguno (probado) | 0 | - | 62 × 11 26 202 -1 308 × 11 444 -1 172 × 11 187 -1 284 × 11 186 -1 518 × 11 78 -1 |
12 | 25 | {13} para n impar , 25 × 12 n - 1 = (5 × 12 n / 2 - 1) × (5 × 12 n / 2 + 1) para n par | ninguno (probado) | 0 | - | 24 × 12 4 −1 18 × 12 2 −1 17 × 12 2 −1 13 × 12 2 −1 10 × 12 2 −1 |
13 | 302 | {5, 7, 17} | ninguno (probado) | 0 | - | 288 × 13 109217 −1 146 × 13 30 −1 92 × 13 23 −1 102 × 13 20 −1300 × 13 10 −1 |
14 | 4 | {3, 5} | ninguno (probado) | 0 | - | 2 × 14 4 −1 3 × 14 1 −1 |
15 | 36370321851498 | {13, 17, 113, 211, 241, 1489, 3877} | 381714, 3347624, 3889018, 4242104, 4502952, 5149158, 5237186, 5255502, 5725710 , 5854146, 7256276, 8524154, 9105446, 9535278, 9756404, ... | 14 k s ≤ 10 M | k ≤ 10 M en n = 200 K | 937,474 × 15 195 209 -1 9.997.886 × 15 180 302 -1 8.168.814 × 15 158 596 -1 300 870 x 15 156 608 -1 940 130 x 15 147 006 -1 |
dieciséis | 9 | 9 × 16 norte - 1 = (3 × 4 norte - 1) × (3 × 4 norte + 1) | ninguno (probado) | 0 | - | 8 × 16 1 −1 5 × 16 1 −1 3 × 16 1 −1 2 × 16 1 −1 |
17 | 86 | {3, 5, 29} | ninguno (probado) | 0 | - | 44 × 17 6488 −1 36 × 17243 −1 10 × 17117 −1 26 × 17 110 −1 58 × 17 35 −1 |
18 | 246 | {5, 13, 19} | ninguno (probado) | 0 | - | 151 × 18 418 -1 78 × 18 172 -1 50 × 18 110 -1 79 × 18 63 -1 237 × 18 44 -1 |
19 | 144 | {5} para n impar , 144 × 19 n - 1 = (12 × 19 n / 2 - 1) × (12 × 19 n / 2 + 1) para n par | ninguno (probado) | 0 | - | 134 × 19202 −1 104 × 19 18 −1 38 × 19 11 −1 128 × 19 10 −1 108 × 19 6 −1 |
20 | 8 | {3, 7} | ninguno (probado) | 0 | - | 2 × 20 10 −1 6 × 20 2 −1 5 × 20 2 −1 7 × 20 1 −1 3 × 20 1 −1 |
21 | 560 | {11, 13, 17} | ninguno (probado) | 0 | - | 64 × 21 2867 -1 494 × 21 978 -1 154 × 21 103 -1 84 × 21 88 -1 142 × 21 48 -1 |
22 | 4461 | {5, 23, 97} | 3656 | 1 | 2M | 3104 × 22 161188 −1 4001 × 22 36614 −1 2853 × 22 27975 −1 1013 × 22 26067 −1 4118 × 22 12347 −1 |
23 | 476 | {3, 5, 53} | 404 | 1 | 1,35 millones | 194 × 23 211140 −1 134 × 23 27932 −1 394 × 23 20169 −1 314 × 23 17268 −1 464 × 23 7548 −1 |
24 | 4 | {5} para n impar , 4 × 24 n - 1 = (2 × 24 n / 2 - 1) × (2 × 24 n / 2 + 1) para n par | ninguno (probado) | 0 | - | 3 × 24 1 −1 2 × 24 1 −1 |
25 | 36 | 36 × 25 norte - 1 = (6 × 5 norte - 1) × (6 × 5 norte + 1) | ninguno (probado) | 0 | - | 32 × 25 4 −1 30 × 25 2 −1 26 × 25 2 −1 12 × 25 2 −1 2 × 25 2 −1 |
26 | 149 | {3, 7, 31, 37} | ninguno (probado) | 0 | - | 115 × 26 520277 −1 32 × 26 9812 −1 73 × 26 537 −1 80 × 26 382 −1 128 × 26 300 −1 |
27 | 8 | 8 × 27 norte - 1 = (2 × 3 norte - 1) × (4 × 9 norte + 2 × 3 norte + 1) | ninguno (probado) | 0 | - | 6 × 27 2 −1 4 × 27 1 −1 2 × 27 1 −1 |
28 | 144 | {29} para n impar , 144 × 28 n - 1 = (12 × 28 n / 2 - 1) × (12 × 28 n / 2 + 1) para n par | ninguno (probado) | 0 | - | 107 × 28 74 −1 122 × 28 71 −1 101 × 28 53 −1 14 × 28 47 −1 90 × 28 36 −1 |
29 | 4 | {3, 5} | ninguno (probado) | 0 | - | 2 × 29 136 −1 |
30 | 1369 | {7, 13, 19} para n impar , 1369 × 30 n - 1 = (37 × 30 n / 2 - 1) × (37 × 30 n / 2 + 1) para n par | 659, 1024 | 2 | 500 mil | 239 × 30 337 990 -1 249 × 30 199 355 -1 225 × 30 158 755 -1 774 × 30 148 344 -1 25 × 30 34 205 -1 |
31 | 134718 | {7, 13, 19, 37, 331} | 6962, 55758 | 2 | 1 M | 126072 × 31 374323 −1 43902 × 31 251859 −1 55940 × 31 197599 −1 101022 × 31 133208 −1 37328 × 31 129973 −1 |
32 | 10 | {3, 11} | ninguno (probado) | 0 | - | 3 × 32 11 −1 2 × 32 6 −1 9 × 32 3 −1 8 × 32 2 −1 5 × 32 2 −1 |
La base numérica de Riesel más pequeña conjeturada n son (comience con n = 2)
- 509203, 63064644938, 9, 346802, 84687, 408034255082, 14, 4, 10176, 862, 25, 302, 4, 36370321851498, 9, 86, 246, 144, 8, 560, 4461, 476, 4, 36, 149, 8, 144, 4, 1369, 134718, 10, 16, 6, 287860, 4, 7772, 13, 4, 81, 8, 15137, 672, 4, 22564, 8177, 14, 3226, 36, 16, 64, 900, 5392, 4, 6852, 20, 144, 105788, 4, 121, 13484, 8, 187258666, 9, ... (secuencia A273987 en la OEIS )
Ver también
- Número de Sierpiński
- Número Woodall
- Matemáticas experimentales
- BOINC
- PrimeGrid
Referencias
- ^ Riesel, Hans (1956). "Några stora primtal". Elementa . 39 : 258-260.
- ^ "Las estadísticas del problema de Riesel" . PrimeGrid.
- ^ Brown, Scott (25 de noviembre de 2020). "¡TRP Mega Prime!" . PrimeGrid . Consultado el 26 de noviembre de 2020 .
- ^ "Las estadísticas del problema de Riesel" . PrimeGrid . Archivado desde el original el 21 de enero de 2021 . Consultado el 21 de enero de 2021 .
- ^ "Problema 29.- Números de Brier" .
- ^ "Conjeturas y pruebas de Riesel" .
- ^ "Riesel conjetura y prueba potencias de 2" .
- ^ "¡TRP Mega Prime!" . www.primegrid.com .
- ^ Brown, Scott (20 de agosto de 2020). "¡SR5 Mega Prime!" . PrimeGrid . Consultado el 21 de agosto de 2020 .
- ^ Brown, Scott (31 de marzo de 2020). "¡Y otro SR5 Mega Prime!" . PrimeGrid . Consultado el 1 de abril de 2020 .
- ^ Brown, Scott (31 de marzo de 2020). "¡Otro SR5 Mega Prime!" . PrimeGrid . Consultado el 1 de abril de 2020 .
- ^ Brown, Scott (31 de marzo de 2020). "¡SR5 Mega Prime!" . PrimeGrid . Consultado el 1 de abril de 2020 .
- ^ Brown, Scott (11 de marzo de 2020). "¡SR5 Mega Prime!" . PrimeGrid . Consultado el 11 de marzo de 2020 .
Fuentes
- Guy, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números . Berlín: Springer-Verlag . pag. 120. ISBN 0-387-20860-7.
- Ribenboim, Paulo (1996). El nuevo libro de registros de números primos . Nueva York: Springer-Verlag . pp. 357 -358. ISBN 0-387-94457-5.
enlaces externos
- PrimeGrid
- El problema de Riesel: definición y estado
- El primer glosario: número de Riesel
- Lista de primos de la forma: k * 2 ^ n-1, k <300
- Lista de números primos de la forma: k * 2 ^ n-1, k <300, Project Riesel Prime Search
- Base de datos de Riesel y Proth Prime