En matemáticas , particularmente en la teoría de la medida , un σ -ideal de un sigma-álgebra ( σ , léase "sigma", significa contable en este contexto) es un subconjunto con ciertas propiedades de cierre deseables . Es un tipo especial de ideal . Su aplicación más frecuente es la teoría de la probabilidad . [ cita requerida ]
Sea ( X , Σ) un espacio medible (lo que significa que Σ es un σ -álgebra de subconjuntos de X ). Un subconjunto N de Σ es un σ- ideal si se satisfacen las siguientes propiedades:
(i) Ø ∈ N ;
(ii) Cuando A ∈ N y B ∈ Σ , B ⊆ A ⇒ B ∈ N ;
(iii)
Brevemente, un sigma-ideal debe contener el conjunto vacío y contener subconjuntos y uniones contables de sus elementos. El concepto de σ -ideal es dual al de un filtro contablemente completo ( σ -) .
Si se da una medida μ en ( X , Σ), el conjunto de μ - conjuntos despreciables ( S ∈ Σ tal que μ ( S ) = 0 ) es un σ- ideal.
La noción se puede generalizar a preordenes ( P , ≤, 0) con un elemento inferior 0 como sigue: I es un σ -ideal de P justo cuando
(yo ') 0 ∈ yo ,
(ii ') x ≤ y & y ∈ I ⇒ x ∈ I , y
(iii ') dada una familia x n ∈ I ( n ∈ N ) , hay y ∈ I tal que x n ≤ y para cada n
Por tanto, I contiene el elemento inferior, está cerrado hacia abajo y satisface un análogo contable de la propiedad de estar dirigido hacia arriba .
A σ -ideal de un conjunto X es un σ -ideal del conjunto potencia de X . Es decir, cuando no se especifica ningún álgebra σ , simplemente se toma el conjunto de potencias completas del conjunto subyacente. Por ejemplo, los exiguos subconjuntos de un espacio topológico son aquellos en el σ -ideal generado por la colección de subconjuntos cerrados con interior vacío.
Referencias
- Bauer, Heinz (2001): Teoría de la medida y la integración . Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, 10785 Berlín, Alemania.