En física , un modelo sigma es una teoría de campo que describe el campo como una partícula puntual confinada para moverse en una variedad fija. Esta variedad puede tomarse como cualquier variedad de Riemann , aunque lo más común es que sea un grupo de Lie o un espacio simétrico . El modelo puede cuantificarse o no. Un ejemplo de la versión no cuantificada es el modelo Skyrme ; no se puede cuantificar debido a no linealidades de potencia superiores a 4. En general, los modelos sigma admiten soluciones de solitones topológicos (clásicos) , por ejemplo, el Skyrmionpara el modelo Skyrme. Cuando el campo sigma se acopla a un campo gauge, el modelo resultante es descrito por la teoría de Ginzburg-Landau . Este artículo está dedicado principalmente a la teoría de campo clásica del modelo sigma; la teoría cuantificada correspondiente se presenta en el artículo titulado " modelo sigma no lineal ".
Descripción general
El modelo sigma fue introducido por Gell-Mann y Lévy (1960 , sección 5); el nombre modelo σ proviene de un campo en su modelo que corresponde a un mesón sin espinas llamado σ , un mesón escalar introducido anteriormente por Julian Schwinger . [1] El modelo sirvió como el prototipo dominante de ruptura espontánea de simetría de O (4) hasta O (3): los tres generadores axiales rotos son la manifestación más simple de ruptura de simetría quiral , el O (3) intacto sobreviviente representando isospin .
En la configuración de la física de partículas convencional , el campo generalmente se toma como SU (N) , o el subespacio vectorial del cocientedel producto de los campos quirales izquierdo y derecho. En las teorías de la materia condensada , el campo se considera O (N) . Para el grupo de rotación O (3), el modelo sigma describe el ferromagnet isotrópico ; de manera más general, el modelo O (N) aparece en el efecto Hall cuántico , el helio-3 superfluido y las cadenas de espín .
En los modelos de supergravedad , el campo se considera un espacio simétrico . Dado que los espacios simétricos se definen en términos de su involución , su espacio tangente se divide naturalmente en subespacios de paridad pares e impares. Esta división ayuda a impulsar la reducción dimensional de las teorías de Kaluza-Klein .
En su forma más básica, el modelo sigma puede tomarse como puramente la energía cinética de una partícula puntual; como campo, esta es solo la energía de Dirichlet en el espacio euclidiano.
En dos dimensiones espaciales, el modelo O (3) es completamente integrable .
Definición
La densidad lagrangiana del modelo sigma se puede escribir de diversas formas, cada una adecuada para un tipo particular de aplicación. La definición más simple y genérica escribe el lagrangiano como la traza métrica del retroceso del tensor métrico en una variedad riemanniana . Paraun campo sobre un espacio-tiempo , esto puede escribirse como
donde el es el tensor métrico en el espacio de campo, y el son las derivadas de la variedad espaciotemporal subyacente .
Esta expresión se puede descomprimir un poco. El espacio de campose puede elegir para cualquier variedad riemanniana . Históricamente, este es el "sigma" del modelo sigma; el símbolo históricamente apropiado se evita aquí para evitar choques con muchos otros usos comunes de en geometría. Las variedades de Riemann siempre vienen con un tensor métrico. Dado un atlas de gráficos en, el espacio de campo siempre se puede trivializar localmente , en ese en el atlas, se puede escribir un mapa dando coordenadas locales explícitas en ese parche. El tensor métrico en ese parche es una matriz que tiene componentes
El colector de base debe ser una variedad diferenciable ; por convención, es el espacio de Minkowski en aplicaciones de física de partículas , un espacio euclidiano bidimensional plano para aplicaciones de materia condensada , o una superficie de Riemann , la hoja del mundo en la teoría de cuerdas . Laes solo la derivada covariante simple en la variedad de espacio-tiempo base Cuándo es plano, es solo el gradiente ordinario de una función escalar (como es un campo escalar, desde el punto de vista de en sí.) En un lenguaje más preciso, es una sección del haz de chorro de.
Ejemplo: modelo sigma no lineal O (N)
Tomando el delta de Kronecker , es decir , el producto escalar escalar en el espacio euclidiano, se obtiene elmodelo sigma no lineal. Es decir, escribe ser el vector unitario en , así que eso , con el producto escalar euclidiano ordinario. Luego la - esfera , cuyas isometrías son el grupo de rotación . El lagrangiano puede entonces escribirse como
Para , este es el límite continuo del ferromagnet isotrópico en una red, es decir, del modelo clásico de Heisenberg . Para, este es el límite continuo del modelo XY clásico . Vea también el modelo de n-vector y el modelo de Potts para revisiones de los equivalentes del modelo de celosía . El límite del continuo se toma por escrito
como la diferencia finita en ubicaciones de celosía vecinas Luego en el limite , y después de eliminar los términos constantes (la "magnetización a granel").
En notación geométrica
El modelo sigma también se puede escribir en una notación más completamente geométrica, como un haz de fibras con fibrassobre una variedad diferenciable . Dada una sección , arregla un punto El empujón en es un mapa de paquetes tangentes
- tomando
dónde se toma como un espacio vectorial ortonormal basado en y la base del espacio vectorial en . Laes una forma diferencial . La acción del modelo sigma es entonces solo el producto interno convencional en formas k con valores vectoriales
donde el es el producto de la cuña , y eles la estrella de Hodge . Este es un producto interior de dos formas diferentes. En la primera forma, teniendo en cuenta las dos formas diferenciables en , el dual de Hodge define un producto interno invariante en el espacio de formas diferenciales, comúnmente escrito como
Lo anterior es un producto interior en el espacio de formas cuadradas integrables, convencionalmente tomado como el espacio de Sobolev. De esta manera, se puede escribir
Esto hace que sea explícito y claramente evidente que el modelo sigma es solo la energía cinética de una partícula puntual. Desde el punto de vista de la variedad, el campo es un escalar, por lo que puede reconocerse simplemente el gradiente ordinario de una función escalar. La estrella de Hodge es simplemente un dispositivo elegante para realizar un seguimiento de la forma del volumen cuando se integra en el espacio-tiempo curvo. En el caso de que es plana, se puede ignorar por completo, por lo que la acción es
que es la energía de Dirichlet de. Los extremos clásicos de la acción (las soluciones a las ecuaciones de Lagrange ) son entonces aquellas configuraciones de campo que minimizan la energía de Dirichlet de. Otra forma de convertir esta expresión en una forma más fácilmente reconocible es observar que, para una función escalar uno tiene y así también se puede escribir
dónde es el operador de Laplace-Beltrami , es decir , el laplaciano ordinario cuando es plano.
Que hay otro segundo producto interno en juego simplemente requiere no olvidar que es un vector desde el punto de vista de sí mismo. Esto es, dado cualquier dos vectores, la métrica de Riemann define un producto interior
Desde está valorado por vectores en los gráficos locales, también se lleva allí el producto interno. Más prolijamente,
La tensión entre estos dos productos internos puede hacerse aún más explícita al señalar que
es una forma bilineal ; es un retroceso de la métrica de Riemann. El individuose puede tomar como vielbeins . La densidad lagrangiana del modelo sigma es entonces
por la métrica en Dado este encolado, el se puede interpretar como una forma de soldadura ; esto se articula más completamente a continuación.
Motivaciones e interpretaciones básicas
Se pueden hacer varias observaciones interpretativas y fundamentales sobre el modelo sigma clásico (no cuantificado). El primero de ellos es que el modelo sigma clásico puede interpretarse como un modelo de mecánica cuántica que no interactúa. El segundo se refiere a la interpretación de la energía.
Interpretación como mecánica cuántica
Esto se sigue directamente de la expresión
dado anteriormente. Tomando, la función se puede interpretar como una función de onda , y su laplaciana la energía cinética de esa función de onda. Laes solo una maquinaria geométrica que recuerda a uno integrarse en todo el espacio. La notación mecánica cuántica correspondiente es En el espacio plano, el laplaciano se escribe convencionalmente como . Reuniendo todas estas piezas, la acción del modelo sigma es equivalente a
que es solo la energía cinética total de la función de onda , hasta un factor de . Para concluir, el modelo sigma clásico enpuede interpretarse como la mecánica cuántica de una partícula cuántica libre que no interactúa. Obviamente, agregando un término depara el Lagrangiano resulta en la mecánica cuántica de una función de onda en un potencial. Tomando no es suficiente para describir el -sistema de partículas, en que las partículas requieren coordenadas distintas, que no son proporcionadas por el colector base. Esto se puede resolver tomando copias del colector base.
La forma de soldadura
Es bien sabido que la estructura geodésica de una variedad de Riemann se describe mediante las ecuaciones de Hamilton-Jacobi . [2] En forma de miniatura, la construcción es la siguiente. Ambas cosas y son variedades de Riemann; lo siguiente está escrito para, se puede hacer lo mismo para . El paquete cotangente , suministrado con gráficos de coordenadas , siempre se puede trivializar localmente , es decir
La trivialización proporciona coordenadas canónicas. en el paquete cotangente. Dado el tensor métrico en , define la función hamiltoniana
donde, como siempre, uno tiene cuidado de notar que la inversa de la métrica se usa en esta definición: Famosamente, el flujo geodésico enviene dada por las ecuaciones de Hamilton-Jacobi
- y
El flujo geodésico es el flujo hamiltoniano ; las soluciones a lo anterior son las geodésicas de la variedad. Tenga en cuenta, por cierto, quea lo largo de geodésicas; el parámetro de tiempo es la distancia a lo largo de la geodésica.
El modelo sigma toma los momentos en los dos colectores. y y los suelda juntos, en ese es una forma de soldadura . En este sentido, la interpretación del modelo sigma como un funcional energético no es de extrañar; de hecho, es el pegado de dos funcionales energéticos. Precaución: la definición precisa de una forma de soldadura requiere que sea un isomorfismo; esto solo puede suceder si y tienen la misma dimensión real. Además, la definición convencional de una forma de soldadura tomaser un grupo de mentiras. Ambas condiciones se cumplen en diversas aplicaciones.
Resultados en varios espacios
El espacio a menudo se considera un grupo de Lie , generalmente SU (N) , en los modelos convencionales de física de partículas, O (N) en las teorías de la materia condensada, o como un espacio simétrico en los modelos de supergravedad . Dado que los espacios simétricos se definen en términos de su involución , su espacio tangente (es decir, el lugar dondevidas) se divide naturalmente en subespacios de paridad pares e impares. Esta división ayuda a impulsar la reducción dimensional de las teorías de Kaluza-Klein .
Grupos de On Lie
Para el caso especial de siendo un grupo de Lie , eles el tensor métrico en el grupo de Lie, formalmente llamado tensor de Cartan o forma Killing . El lagrangiano puede entonces escribirse como el retroceso de la forma Killing. Tenga en cuenta que la forma Killing se puede escribir como un trazo sobre dos matrices del álgebra de Lie correspondiente ; así, el lagrangiano también se puede escribir en una forma que involucre el rastro. Con ligeras modificaciones, también se puede escribir como el retroceso de la forma Maurer-Cartan .
En espacios simétricos
Una variación común del modelo sigma es presentarlo en un espacio simétrico . El ejemplo prototípico es el modelo quiral , que toma el producto
de los campos quirales "izquierdo" y "derecho", y luego construye el modelo sigma en la "diagonal"
Tal espacio de cociente es un espacio simétrico, por lo que genéricamente se puede tomar dónde es el subgrupo máximo de que es invariante bajo la involución de Cartan . El lagrangiano todavía se escribe exactamente como el anterior, ya sea en términos del retroceso de la métrica en a una métrica en o como un retroceso de la forma Maurer-Cartan.
Notación de seguimiento
En física, la declaración más común y convencional del modelo sigma comienza con la definición
Aquí el es el retroceso de la forma Maurer-Cartan , para, en el colector del espacio-tiempo. Laes una proyección sobre la pieza de paridad impar de la involución de Cartan. Es decir, dado el álgebra de Lie de , la involución descompone el espacio en componentes de paridad pares e impares correspondiente a los dos estados propios de la involución. El modelo sigma lagrangiano puede entonces escribirse como
Esto se reconoce instantáneamente como el primer término del modelo Skyrme .
Forma métrica
La forma métrica equivalente de esto es escribir un elemento de grupo como la geodésica de un elemento del álgebra de mentira . Lason los elementos básicos del álgebra de Lie; lason las constantes de estructura de.
Conectando esto directamente con lo anterior y aplicando la forma infinitesimal de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, rápidamente se obtiene la expresión equivalente
dónde ahora es obviamente (proporcional a) la forma Killing, y la son los vielbeins que expresan la métrica "curva" en términos de la métrica "plana" . El artículo sobre la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff proporciona una expresión explícita para los vielbeins. Pueden escribirse como
where is a matrix whose matrix elements are .
For the sigma model on a symmetric space, as opposed to a Lie group, the are limited to span the subspace instead of all of . The Lie commutator on will not be within ; indeed, one has and so a projection is still needed.
Extensiones
The model can be extended in a variety of ways. Besides the aforementioned Skyrme model, which introduces quartic terms, the model may be augmented by a torsion term to yield the Wess–Zumino–Witten model.
Another possibility is frequently seen in supergravity models. Here, one notes that the Maurer-Cartan form looks like "pure gauge". In the construction above for symmetric spaces, one can also consider the other projection
where, as before, the symmetric space corresponded to the split . This extra term can be interpreted as a connection on the fiber bundle (it transforms as a gauge field). It is what is "left over" from the connection on . It can be endowed with its own dynamics, by writing
with . Note that the differential here is just "d", and not a covariant derivative; this is not the Yang-Mills stress-energy tensor. This term is not gauge invariant by itself; it must be taken together with the part of the connection that embeds into , so that taken together, the , now with the connection as a part of it, together with this term, forms a complete gauge invariant Lagrangian (which does have the Yang-Mills terms in it, when expanded out).
Referencias
- ^ Julian S. Schwinger, "A Theory of the Fundamental Interactions", Ann. Phys. 2(407), 1957.
- ^ Jurgen Jost (1991) Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Springer
- Gell-Mann, M.; Lévy, M. (1960), "The axial vector current in beta decay", Il Nuovo Cimento, 16: 705–726, Bibcode:1960NCim...16..705G, doi:10.1007/BF02859738
- Ketov, Sergei (2009). "Nonlinear Sigma model". Scholarpedia. 4 (1): 8508. Bibcode:2009SchpJ...4.8508K. doi:10.4249/scholarpedia.8508.