Curvatura

En matemáticas , la curvatura es cualquiera de varios conceptos de geometría fuertemente relacionados . Intuitivamente, la curvatura es la cantidad en que una curva se desvía de ser una línea recta o una superficie se desvía de ser un plano .

Para las curvas, el ejemplo canónico es el de un círculo , que tiene una curvatura igual al recíproco de su radio . Los círculos más pequeños se doblan más bruscamente y, por lo tanto, tienen una curvatura más alta. La curvatura en un punto de una curva diferenciable es la curvatura de su círculo osculante , que es el círculo que mejor se aproxima a la curva cerca de este punto. La curvatura de una línea recta es cero. A diferencia de la tangente , que es una cantidad vectorial, la curvatura en un punto suele ser una cantidad escalar , es decir, se expresa mediante un único número real .

Para las superficies (y, más generalmente, para las variedades de dimensiones superiores ), que están incrustadas en un espacio euclidiano , el concepto de curvatura es más complejo, ya que depende de la elección de una dirección en la superficie o la variedad. Esto conduce a los conceptos de curvatura máxima , curvatura mínima y curvatura media .

Para las variedades de Riemann (de dimensión al menos dos) que no están necesariamente incrustadas en un espacio euclidiano, se puede definir la curvatura intrínsecamente , es decir, sin referirse a un espacio externo. Ver Curvatura de variedades de Riemann para la definición, que se hace en términos de longitudes de curvas trazadas en la variedad y expresadas, usando álgebra lineal , por el tensor de curvatura de Riemann .

En Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum, ^[1] la filósofa y matemática del siglo XIV Nicole Oresme introduce el concepto de curvatura como una medida de desviación de la rectitud; para los círculos, la curvatura es inversamente proporcional al radio; e intenta extender esta idea a otras curvas como una magnitud que varía continuamente. ^[2]

La curvatura de una curva diferenciable se definió originalmente mediante círculos osculantes . En este escenario, Augustin-Louis Cauchy mostró que el centro de curvatura es el punto de intersección de dos líneas normales infinitamente cercanas a la curva. ^[3]

Reproducir medios

Una célula migratoria de Dictyostelium discoideum de tipo salvaje cuyo límite está coloreado por la curvatura. Barra de escala: 5 µm.

Los vectores de T y N en dos puntos sobre una curva plana, una versión traducida de la segunda trama (de puntos), y δ T el cambio en la T . Aquí δs es la distancia entre los puntos. En el límite d T / ds estarán en la dirección N . La curvatura describe la tasa de rotación del marco.

Animación de la curvatura y el vector de aceleración T ′ ( s )

Superficie de silla con planos normales en direcciones de curvaturas principales

El transporte paralelo de un vector de A → N → B → A produce un vector diferente. Esta falta de retorno al vector inicial se mide mediante la holonomía de la superficie.