Ecuación de seno-Gordon
La ecuación seno-Gordon es una ecuación diferencial parcial hiperbólica no lineal en 1 + 1 dimensiones que involucra al operador d'Alembert y el seno de la función desconocida. Originalmente fue introducido por Edmond Bour ( 1862 ) en el curso de estudio de superficies de curvatura negativa constante como la ecuación de Gauss-Codazzi para superficies de curvatura −1 en 3 espacios, [1] y redescubierto por Frenkel y Kontorova ( 1939 ) en su estudio de dislocaciones de cristales conocido como el modelo de Frenkel-Kontorova . [2]Esta ecuación atrajo mucha atención en la década de 1970 debido a la presencia de soluciones de solitón .
Hay dos formas equivalentes de la ecuación seno-Gordon. En las coordenadas espacio-temporales ( reales ) , denotadas ( x , t ), la ecuación dice: [3]
donde las derivadas parciales se indican mediante subíndices. Pasando a las coordenadas del cono de luz ( u , v ), similar a las coordenadas asintóticas donde
Esta es la forma original de la ecuación seno-Gordon, tal como se consideró en el siglo XIX en el curso de la investigación de superficies de curvatura gaussiana constante K = −1, también llamadas superficies pseudoesféricas . Elija un sistema de coordenadas para tal superficie en la que la malla de coordenadas u = constante, v = constante esté dada por las líneas asintóticas parametrizadas con respecto a la longitud del arco. La primera forma fundamental de la superficie en estas coordenadas tiene una forma especial
donde expresa el ángulo entre las líneas asintóticas, y para la segunda forma fundamental , L = N = 0. Luego, la ecuación de Codazzi-Mainardi que expresa una condición de compatibilidad entre la primera y la segunda forma fundamental da como resultado la ecuación seno-Gordon. El estudio de esta ecuación y de las transformaciones asociadas de superficies pseudoesféricas en el siglo XIX por Bianchi y Bäcklund llevó al descubrimiento de las transformaciones de Bäcklund . Otra transformación de superficies pseudoesféricas es la transformada de Lie introducida por Sophus Lie en 1879, que corresponde aLorentz aumenta en términos de coordenadas de cono de luz, por lo que la ecuación de seno-Gordon es invariante de Lorentz . [5]
La ecuación del seno-Gordon es la ecuación de Euler-Lagrange del campo cuya densidad lagrangiana viene dada por
