En matemáticas , la dualidad de Verdier es una dualidad en la teoría de la gavilla que generaliza la dualidad de Poincaré para las variedades . La dualidad Verdier fue introducida por Jean-Louis Verdier ( 1967 , 1995 ) como un análogo de los espacios localmente compactos de la dualidad coherente para los esquemas debidos a Alexander Grothendieck . Se encuentra comúnmente al estudiar poleas construibles o perversas .
Dualidad Verdier
La dualidad de Verdier establece que ciertos functores de imagen para haces son en realidad functores adjuntos . Hay dos versiones.
La dualidad Verdier global establece que para un mapa continuo, el functor derivado de la imagen directa con los soportes adecuados tiene un derecho adjunto en la categoría derivada de gavillas, en otras palabras, para una gavilla en y en tenemos
El signo de exclamación a menudo se pronuncia "chillido" (jerga para signo de exclamación) y los mapas se llaman " chillar "o"chillido inferior "y" f chillido superior "- ver también mapa de chillidos .
La dualidad local de Verdier establece que
en la categoría derivado de gavillas de k módulos más de Y . Es importante señalar que la distinción entre las versiones global y local es que la primera relaciona mapas entre roldanas, mientras que la segunda relaciona (complejos de) roldanas directamente y, por lo tanto, puede evaluarse localmente. Tomar secciones globales de ambos lados en la declaración local da la dualidad Verdier global.
El complejo dualizante en se define para ser
donde p es el mapa dea un punto. Parte de lo que hace que la dualidad de Verdier sea interesante en el escenario singular es que cuandono es una variedad (un gráfico o una variedad algebraica singular, por ejemplo), entonces el complejo de dualización no es cuasi-isomorfo en un haz concentrado en un solo grado. Desde esta perspectiva, la categoría derivada es necesaria en el estudio de espacios singulares.
Si es un espacio localmente compacto de dimensión finita, y la categora derivada acotada de gavillas de grupos abelianos sobre, entonces el Verdier dual es un funtor contravariante
definido por
Tiene las siguientes propiedades:
- para poleas con cohomología constructiva.
- (Entrelazamiento de functores y ). Si es un mapa continuo de a , entonces hay un isomorfismo
- .
Dualidad de Poincaré
La dualidad de Poincaré puede derivarse como un caso especial de dualidad Verdier. Aquí se calcula explícitamente la cohomología de un espacio utilizando la maquinaria de la cohomología de gavilla .
Suponga que X es una variedad compacta orientable n- dimensional, k es un campo yes la gavilla constante en X con coeficientes en k . Dejarser el mapa constante. La dualidad de Verdier global afirma entonces
Para comprender cómo se obtiene la dualidad de Poincaré a partir de esta afirmación, quizás sea más fácil comprender ambos lados pieza por pieza. Dejar
ser una resolución inyectiva de la gavilla constante. Luego, por hechos estándar sobre functores derivados de la derecha
es un complejo cuya cohomología es la cohomología de X con soporte compacto . Dado que los morfismos entre complejos de haces (o espacios vectoriales) mismos forman un complejo, encontramos que
donde el último término distinto de cero está en grado 0 y los de la izquierda están en grado negativo. Los morfismos en la categoría derivada se obtienen a partir de la categoría de homotopía de complejos de cadenas de poleas tomando la cohomología cero del complejo, es decir
Para el otro lado de la declaración de dualidad de Verdier anterior, tenemos que dar por sentado el hecho de que cuando X es una variedad compacta orientable n- dimensional
que es el complejo dualizante de una variedad. Ahora podemos volver a expresar el lado derecho como
Finalmente hemos obtenido la afirmación de que
Repitiendo este argumento con el haz k X reemplazado por el mismo haz colocado en el grado i obtenemos la dualidad clásica de Poincaré
Ver también
Referencias
- Borel, Armand (1984), cohomología de intersección , Progreso en matemáticas, Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3274-8
- Gelfand, Sergei I .; Manin, Yuri Ivanovich (1999), Álgebra homológica , Berlín: Springer, ISBN 978-3-540-65378-3
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- Iversen, Birger (1986), Cohomology of gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-642-82783-9 , ISBN 978-3-540-16389-3, MR 0842190
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