En matemáticas , especialmente en la teoría de gavillas —un dominio que se aplica en áreas como topología , lógica y geometría algebraica— hay cuatro functores de imagen para gavillas que van juntas en varios sentidos.
Dado un mapeo continuo f : X → Y de espacios topológicos , y la categoría Sh (-) de haces de grupos abelianos en un espacio topológico. Los functors en cuestión son
- imagen directa f ∗ : Sh ( X ) → Sh ( Y )
- imagen inversa f ∗ : Sh ( Y ) → Sh ( X )
- imagen directa con soporte compacto f ! : Sh ( X ) → Sh ( Y )
- imagen inversa excepcional Rf ! : D (Sh ( Y )) → D (Sh ( X )).
El signo de exclamación a menudo se pronuncia " chillido " (jerga para el signo de exclamación), y los mapas se llaman " f chillido" o " f chillido inferior" y " f chillido superior" - ver también mapa chillido .
La imagen inversa excepcional se define en general a nivel de categorías derivadas únicamente. Se aplican consideraciones similares a las poleas étale en los esquemas .
Colindancia
Los functores son contiguos entre sí como se muestra a la derecha, donde, como de costumbre,significa que F es adyacente a la izquierda de G (equivalentemente G adyacente a la derecha de F ), es decir
- Hom ( F ( A ), B ) ≅ Hom ( A , G ( B ))
para cualesquiera dos objetos A , B en las dos categorías de ser adjunto por F y G .
Por ejemplo, f ∗ es el adjunto izquierdo de f * . Según el razonamiento estándar con relaciones de adyacencia, hay morfismos de unidad natural y de cuenta y por en Y yen X , respectivamente. Sin embargo, estos casi nunca son isomorfismos; consulte el ejemplo de localización a continuación.
Dualidad Verdier
La dualidad Verdier proporciona otro vínculo entre ellos: moralmente hablando, intercambia "∗" y "!", Es decir, en la sinopsis anterior intercambia functores a lo largo de las diagonales. Por ejemplo, la imagen directa es dual a la imagen directa con soporte compacto. Este fenómeno se estudia y se utiliza en la teoría de las poleas perversas .
Cambio de base
Otra propiedad útil de los functores de imagen es el cambio de base . Dados mapas continuos y , que inducen morfismos y , existe un isomorfismo canónico .
Localización
En la situación particular de un subespacio cerrado i : Z ⊂ X y el subconjunto abierto complementario j : U ⊂ X , la situación se simplifica en la medida en que para j ∗ = j ! y yo ! = i ∗ y para cualquier gavilla F en X , se obtienen secuencias exactas
- 0 → j ! j ∗ F → F → i ∗ i ∗ F → 0
Su doble Verdier lee
- i ∗ Ri ! F → F → Rj ∗ j ∗ F → i ∗ Ri ! F [1],
un triángulo distinguido en la categoría derivado de poleas en X .
Las relaciones de colindancia leídas en este caso
y
- .
Referencias
- Iversen, Birger (1986), Cohomology of gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, MR 0842190 trata el entorno topológico
- Artin, Michael (1972). Alexandre Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3 . Apuntes de clases de matemáticas (en francés). 305 . Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . págs. vi + 640. doi : 10.1007 / BFb0070714 . ISBN 978-3-540-06118-2.trata el caso de las gavillas étale en los esquemas. Ver Exposé XVIII, sección 3.
- Milne, James S. (1980), cohomología Étale , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7 es otra referencia para el caso étale.