En el campo matemático de la topología , la dimensión inductiva de un espacio topológico X es de dos valores, la dimensión inductiva pequeña ind ( X ) o la dimensión inductiva grande Ind ( X ). Estos se basan en la observación de que, en el espacio euclidiano n- dimensional R n , las esferas ( n - 1) -dimensionales (es decir, los límites de las bolas n- dimensionales) tienen dimensión n - 1. Por lo tanto, debería ser posible definir la dimensión de un espacio inductivamente en términos de las dimensiones de los límites de los conjuntos abiertos adecuados .
Las dimensiones inductivas pequeñas y grandes son dos de las tres formas más habituales de capturar la noción de "dimensión" para un espacio topológico, de una manera que depende únicamente de la topología (y no, digamos, de las propiedades de un espacio métrico ) . La otra es la dimensión de cobertura de Lebesgue . El término "dimensión topológica" se entiende normalmente para referirse a la dimensión de cobertura de Lebesgue. Para espacios "suficientemente agradables", las tres medidas de dimensión son iguales.
Definicion formal
Queremos que la dimensión de un punto sea 0, y un punto tiene un límite vacío, por lo que comenzamos con
Entonces, inductivamente, ind ( X ) es el n más pequeño tal que, para caday cada conjunto abierto U que contiene x , hay un conjunto abierto V que contiene x , de modo que el cierre de V es un subconjunto de U , y el límite de V tiene una pequeña dimensión inductiva menor o igual an - 1. (Si X es un espacio euclidiano n -dimensional, V se puede elegir para que sea una bola n- dimensional centrada en x .)
Para la dimensión inductiva grande, restringimos aún más la elección de V ; Ind ( X ) es el n más pequeño de modo que, para cada subconjunto cerrado F de cada subconjunto abierto U de X , hay un V abierto en el medio (es decir, F es un subconjunto de V y el cierre de V es un subconjunto de U ), de modo que el límite de V tiene una gran dimensión inductiva menor o igual que n - 1.
Relación entre dimensiones
Dejar sea la dimensión de cobertura de Lebesgue. Para cualquier espacio topológico X , tenemos
- si y solo si
El teorema de Urysohn establece que cuando X es un espacio normal con una base contable , entonces
Dichos espacios son exactamente el X separable y metrizable (ver teorema de metrización de Urysohn ).
El teorema de Nöbeling-Pontryagin establece que esos espacios con dimensión finita se caracterizan hasta el homeomorfismo como los subespacios de los espacios euclidianos , con su topología habitual. El teorema de Menger-Nöbeling (1932) establece que si es métrica compacta separable y de dimensión , luego se incrusta como un subespacio del espacio euclidiano de dimensión . ( Georg Nöbeling fue alumno de Karl Menger . Introdujo el espacio Nöbeling , el subespacio de que consta de puntos con al menos Las coordenadas son números irracionales , que tienen propiedades universales para incrustar espacios de dimensión..)
Suponiendo que solo X metrizable tenemos ( Miroslav Katětov )
- ind X ≤ Ind X = dim X ;
o asumiendo X compacto y Hausdorff ( PS Aleksandrov )
- dim X ≤ ind X ≤ Ind X .
O la desigualdad aquí puede ser estricta; un ejemplo de Vladimir V. Filippov muestra que las dos dimensiones inductivas pueden diferir.
Un espacio métrico separable X satisface la desigualdad si y solo si para cada subespacio cerrado del espacio y cada mapeo continuo existe una extensión continua .
Referencias
Otras lecturas
- Crilly, Tony, 2005, "Paul Urysohn y Karl Menger: artículos sobre la teoría de la dimensión" en Grattan-Guinness, I. , ed., Landmark Writings in Western Mathematics . Elsevier: 844-55.
- R. Engelking, Teoría de las dimensiones. Finito e infinito , Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2 .
- VV Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory , que aparece en Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volumen 17, Topología general I , (1993) AV Arkhangel'skii y LS Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlín ISBN 3-540-18178-4 .
- VV Filippov, Sobre la dimensión inductiva del producto de bicompacta , soviético. Matemáticas. Dokl., 13 (1972), N ° 1, 250-254.
- AR Pears, Teoría de la dimensión de los espacios generales , Cambridge University Press (1975).