Conjetura de Smith
En matemáticas , la conjetura de Smith establece que si f es un difeomorfismo de las 3 esferas de orden finito , entonces el conjunto de puntos fijos de f no puede ser un nudo no trivial .
Paul A. Smith ( 1939 , observación después del teorema 4) mostró que un difeomorfismo no trivial que conserva la orientación de orden finito con puntos fijos debe tener un punto fijo igual a un círculo, y se preguntó en ( Eilenberg 1949 , Problema 36) si el El conjunto de punto fijo se puede anudar. Friedhelm Waldhausen ( 1969 ) demostró la conjetura de Smith para el caso especial de difeomorfismos de orden 2 (y, por tanto, cualquier orden par). La prueba del caso general fue descrita por John Morgan y Hyman Bass ( 1984 ) y dependió de varios avances importantes en la teoría de tres variedades , en particular el trabajo deWilliam Thurston sobre estructuras hiperbólicas en 3 colectores, y los resultados de William Meeks y Shing-Tung Yau en superficies mínimas en 3 colectores, con ayuda adicional de Bass, Cameron Gordon , Peter Shalen y Rick Litherland.
Deane Montgomery y Leo Zippin ( 1954 ) dieron un ejemplo de una involución continua de las 3 esferas cuyo conjunto de puntos fijos es un círculo incrustado salvajemente, por lo que la conjetura de Smith es falsa en la categoría topológica (en lugar de la suave o PL). Charles Giffen ( 1966 ) mostró que el análogo de la conjetura de Smith en dimensiones superiores es falso: el conjunto de puntos fijos de un difeomorfismo periódico de una esfera de dimensión al menos 4 puede ser una esfera anudada de codimensión 2.
Ver también
Referencias
- Eilenberg, Samuel (1949), "Sobre los problemas de topología", Annals of Mathematics , Second Series, 50 (2): 247-260, doi : 10.2307 / 1969448 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969448 , MR 0030189
- Giffen, Charles H. (1966), "La conjetura generalizada de Smith", American Journal of Mathematics , 88 (1): 187-198, doi : 10.2307 / 2373054 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373054 , MR 0198462
- Montgomery, Deane ; Zippin, Leo (1954), "Examples of transform groups", Proceedings of the American Mathematical Society , 5 (3): 460–465, doi : 10.2307 / 2031959 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2031959 , MR 0062436
- Morgan, John W .; Bass, Hyman , eds. (1984), La conjetura de Smith , Matemáticas puras y aplicadas, 112 , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-506980-9, MR 0758459
- Smith, Paul A. (1939), "Transformaciones de período finito. II", Annals of Mathematics , Second Series, 40 (3): 690–711, doi : 10.2307 / 1968950 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1968950 , MR 0000177
- Waldhausen, Friedhelm (1969), "Über Involutionen der 3-Sphäre" , Topología , 8 : 81–91, doi : 10.1016 / 0040-9383 (69) 90033-0 , ISSN 0040-9383 , MR 0236916
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