En geometría , el antiprisma cuadrado chato es uno de los sólidos de Johnson ( J 85 ). Un sólido de Johnson es uno de los 92 poliedros estrictamente convexos que se componen de caras poligonales regulares pero que no son poliedros uniformes (es decir, no son sólidos platónicos , sólidos de Arquímedes , prismas o antiprismas ). Fueron nombrados por Norman Johnson , quien primero enumeró estos poliedros en 1966. [1]
Antiprisma cuadrado chato | |
---|---|
![]() | |
Tipo | Johnson J 84 - J 85 - J 86 |
Caras | 8 + 16 triángulos 2 cuadrados |
Bordes | 40 |
Vértices | dieciséis |
Configuración de vértice | 8 (3 5 ) 8 (3 4 .4) |
Grupo de simetría | D 4d |
Poliedro doble | - |
Propiedades | convexo |
Neto | |
![]() |
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/8/87/J85_snub_square_antiprism.stl/220px-J85_snub_square_antiprism.stl.png)
Es uno de los sólidos elementales de Johnson que no surgen de manipulaciones de "cortar y pegar" de los sólidos platónicos y de Arquímedes , aunque es un pariente del icosaedro que tiene una simetría cuádruple en lugar de triple.
Construcción
El antiprisma cuadrada chata se construye como su nombre indica, un antiprisma cuadrada que se snubbed , y representado como ss {2,8}, con s {2,8} como un antiprisma cuadrada . [2] Puede construirse en notación de poliedro de Conway como sY4 ( pirámide cuadrada chata ). [3]
También se puede construir como una gyrobianticupolae cuadrada , conectando dos anticuplae con orientaciones giratorias.
Coordenadas cartesianas
Sea k ≈ 0.82354 la raíz positiva del polinomio cúbico
Además, sea h ≈ 1.35374 definido por
Entonces, las coordenadas cartesianas de un antiprisma cuadrado chato con longitud de borde 2 están dadas por la unión de las órbitas de los puntos
bajo la acción del grupo generado por una rotación alrededor del eje z en 90 ° y por una rotación en 180 ° alrededor de una línea recta perpendicular al eje zy formando un ángulo de 22,5 ° con el eje x. [4]
Entonces podemos calcular el área de superficie de un cuadrado chato de longitud de borde a como
y su volumen como
donde ξ ≈ 3.60122 es la mayor raíz real del polinomio
Antiprismas desairados
Construido de manera similar, el ss {2,6} es un antiprisma triangular chato (un octaedro de menor simetría ), y resulta como un icosaedro regular . Un antiprisma pentagonal chato , ss {2,10}, o n -antiprismas superiores pueden tener una construcción similar, pero no como un poliedro convexo con triángulos equiláteros. El sólido de Johnson anterior, el difenoide chato, también encaja constructivamente como ss {2,4}, pero hay que retener dos caras digonales degeneradas (dibujadas en rojo) en el antiprisma digonal .
Simetría | D 2d , [2 + , 4], (2 * 2) | D 3d , [2 + , 6], (2 * 3) | D 4d , [2 + , 8], (2 * 4) | D 5d , [2 + , 10], (2 * 5) |
---|---|---|---|---|
Antiprismas | ![]() s {2,4} A2 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() (v: 4; e: 8; f: 6) | ![]() s {2,6} A3 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() (v: 6; e: 12; f: 8) | ![]() s {2,8} A4 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() (v: 8; e: 16; f: 10) | ![]() s {2,10} A5 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() (v: 10; e: 20; f: 12) |
truncados antiprismas | ![]() ts {2,4} tA2 (v: 16; e: 24; f: 10) | ![]() ts {2,6} tA3 (v: 24; e: 36; f: 14) | ![]() ts {2,8} tA4 (v: 32; e: 48; f: 18) | ![]() ts {2,10} tA5 (v: 40; e: 60; f: 22) |
Simetría | D 2 , [2,2] + , (222) | D 3 , [3,2] + , (322) | D 4 , [4,2] + , (422) | D 5 , [5,2] + , (522) |
Antiprismas desairados | J84 | Icosaedro | J85 | Cóncavo |
sY3 = HtA3 | sY4 = HtA4 | sY5 = HtA5 | ||
![]() ss {2,4} (v: 8; e: 20; f: 14) | ![]() ss {2,6} (v: 12; e: 30; f: 20) | ![]() ss {2,8} (v: 16; e: 40; f: 26) | ![]() ss {2,10} (v: 20; e: 50; f: 32) |
Referencias
- ^ Johnson, Norman W. (1966), "Poliedros convexos con caras regulares", Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169-200, doi : 10.4153 / cjm-1966-021-8 , MR 0185507 , Zbl 0132.14603.
- ^ Antiprismas de desaire
- ^ https://levskaya.github.io/polyhedronisme/?recipe=C100sY4
- ^ Timofeenko, AV (2009). "Los poliedros no compuestos no platónicos y no arquimedianos". Revista de Ciencias Matemáticas . 162 (5): 725.
- ^ Wolfram Research, Inc. (2020). "Wolfram | Base de conocimientos Alpha". Champaign, IL.
Cite journal requierePolyhedronData[{"Johnson", 85}, "SurfaceArea"]
|journal=
( ayuda ) - ^ Wolfram Research, Inc. (2020). "Wolfram | Base de conocimientos Alpha". Champaign, IL.
Cite journal requiereMinimalPolynomial[PolyhedronData[{"Johnson", 85}, "Volume"], x]
|journal=
( ayuda )
enlaces externos
- Eric W. Weisstein , antiprisismo cuadrado desaire ( sólido de Johnson ) en MathWorld .